ਵਕਰਤਾ: ਰੀਵਿਜ਼ਨਾਂ ਵਿਚ ਫ਼ਰਕ

ਸਮੱਗਰੀ ਮਿਟਾਈ ਸਮੱਗਰੀ ਜੋੜੀ
No edit summary
No edit summary
ਲਾਈਨ 115:
 
ਟੇਨਜੈਂਟ, ਕਰਵੇਚਰ, ਅਤੇ ਨੌਰਮਲ ਵੈਕਟਰ ਇਕਠੇ ਹੀ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਨੇੜੇ ਕਰਵ ਦੇ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਦਾ ਵਿਵਰਣ ਦਿੰਦੇ ਹਨ । ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਕਰਵ ਦਾ ਤੀਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਵਰਤਾਓ ਟੌਰਜ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਸਬੰਧਿਤ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਹ ਪਲ ਨਾਪਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤੱਕ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੈਲੀਕਲ ਰਸਤੇ ਵਿੱਚ ਕਰਵ ਗਤੀ ਕਰਨ ਵਾਲ ਮਜਬੂਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਟੌਰਜ਼ਨ ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ ਫਰਨੈੱਟ-ਸੀਰੇਟ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ (ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ) ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ) ਰਾਹੀਂ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ।
 
===ਲੋਕਲ ਐਕਸਪਰੈਸ਼ਨਜ਼===
 
ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ γ(t) = (x(t),y(t),z(t)) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਮਾਪਦੰਡ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਪੇਸ ਕਰਵ ਲਈ, ਕਰਵੇਚਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (''x''(''t''),''y''(''t''),''z''(''t''))}},
the curvature is
 
:<math>\kappa=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}},</math>
 
ਜਿੱਥੇ ਪਰਾਈਮਜ਼ ਮਾਪਦੰਡ t ਪ੍ਰਤਿ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਰਾਹੀਂ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;
 
:<math>\kappa = \frac{|\gamma' \times \gamma''|}{|\gamma'|^3}</math>
 
ਜਿੱਥੇ × ਵੈਕਟਰ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੀ,
 
:<math>\kappa = \frac{\sqrt{\det\left( (\gamma',\gamma'')^t(\gamma',\gamma'') \right)} }{\|\gamma'\|^3}= \frac{\sqrt{ \|\gamma'\|^2 \|\gamma''\|^2- (\gamma'\cdot \gamma'')^2 } }{\|\gamma'\|^3}.</math>
 
ਇੱਥੇ t ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਟਰਾਂਸਪੋਜ਼ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਆਖਰੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਰਵਾਂ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਲਈ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
===ਚਾਪ (ਆਰਕ) ਅਤੇ ਤਾਰ (ਕੌਰਡ) ਤੋਂ ਵਕਰਤਾ (ਕਰਵੇਚਰ===
 
C ਉੱਤੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ P ਅਤੇ Q ਲਈ, ਆਓ s(P,Q) ਨੂੰ P ਅਤੇ Q ਦਰਮਿਆਨ ਕਰਵ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮੰਨੀਏ, ਅਤੇ d(P,Q) ਨੂੰ ਇਸ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਹਿੱਸ਼ਾ ਮੰਨੀਏ । P ਉੱਰੇ ਕਰਵੇਚਰ C ਇਸ ਲਿਮਿਟ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
 
:<math>\kappa(P) = \lim_{Q\to P}\sqrt{\frac{24\left(s(P,Q)-d(P,Q)\right)}{s(P,Q)^3}}</math>
 
 
ਜਿੱਥੇ ਲਿਮਿਟ ਇਹ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ C ਉੱਤੇ Q ਬਿੰਦੂ P ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡੈਨੋਮੀਟਰ (ਹਰ) ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਾਲ ਬਰਾਬਰੀ ਕਰਕੇ ''d''(''P'',''Q'')<sup>3</sup> ਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਲਈ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਹੈ। ਇਸਤੋਂ ਅੱਗੇ, P ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਸੇ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਨਾਲ ਲਿਮਿਟ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ, ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕਦੇ ਕਦੇ P ਉੱਤੇ ਸਿੰਗੁਲਰਟੀ ਇਕੱਠੀ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ, ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ ਸਪਰਸ਼ ਚੱਕਰ ਲਈ ਸਾਬਤ ਕਰਕੇ ਬਣਦਾ ਹੈ।