|
ਇੱਕ [['''ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ]]''' ਉਹ [[ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ]] ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ [[ਵੈਕਟਰ]] [[ਸਪੇਸ]] ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰਜਿਸ ਨੂੰ [[ਅਬੇਲੀਅਨ ਗਰੁੱਪ]] ਬਣਤਰ ਅਤੇ [[ਸਕੇਲਰ]] [[ਗੁਣਨਫਲ]] ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ।ਹਨ। ਸਕੇਲਰ ਕਿਸਮ ਹੋਰ ਅੱਗੇ [[ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ]] ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੋਣ ਲਈ ਦਰਸਾਈ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ, ਹਰੇਕ R-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ਇੱਕ Z-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਹਰੇਕ Z-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ R-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ।ਹੁੰਦਾ।
== ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਨਤੀਜੇ==
ਮੰਨ ਲਓ V ਅਤੇ W ਇੱਕੋ ਫੀਲਡ K ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪਸਾਂ ਹੋਣ ।ਹੋਣ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f : V → W ਇੱਕ [[ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ]] ਕਿਹਾ ਜਾਵੇਗਾ ਜੇਕਰ V ਵਚਲੇ ਕਿਸੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ x ਅਤੇ y ਲਈ, ਅਤੇ K ਵਿਚਲੇ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ α ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਦੋ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਹੋਵੇ:
{|
|}
ਇਹ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ (ਰੇਖਿਕ) ਮੇਲ ਲਈ ਇਸੇ ਚੀਜ਼ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰਾਂ {{nowrap|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>m</sub>'' ∈ ''V''}} ਲਈ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰਾਂ {{nowrap|''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>m</sub>'' ∈ ''K''}} ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ:
: <math>f(a_1 \mathbf{x}_1+\cdots+a_m \mathbf{x}_m) = a_1 f(\mathbf{x}_1)+\cdots+a_m f(\mathbf{x}_m). \!</math>
ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ V ਅਤਵੇ W ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ '''0'''<sub>''V''</sub> ਅਤੇ '''0'''<sub>''W''</sub> ਨਾਲ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ {{nowrap|1=''f''('''0'''<sub>''V''</sub>) = '''0'''<sub>''W''</sub>}} ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ α = 0 ਹੋਣ ਦੇਣ ਤੇ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਟੀ (ਇੱਕਸਾਰਤਾ) ਦੀ 1 ਡਿਗਰੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ;
:<math>f(\mathbf{0}_{V}) = f(0 \cdot \mathbf{0}_{V}) = 0 \cdot f(\mathbf{0}_{V}) = \mathbf{0}_{W} .</math>
ਕੁੱਝ ਮੌਕਿਆਂ ਉੱਤੇ, V ਅਤੇ W ਨੂੰ ਵੱਖਰੀਆਂ ਫੀਲਡਾਂ ਉੱਤੇ [[ਵੈਕਟਰ]] ਸਪੇਸਾਂ ਵੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਗਰਾਉਂਡ ਫੀਲਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸ ਨੂੰ ‘ਲੀਨੀਅਰ’ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ V ਅਤੇ W ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਫੀਲਡ K ਉੱਤੇ ਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ K-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪਾਂ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ।ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਕੰਜੂਗੇਟ ਇੱਕ R-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ C → C ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਇਹ C-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ । ਹੁੰਦੇ।
V ਤੋਂ K ਤੱਕ ਦੇ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ (ਇਸਦੇਇਸ ਦੇ ਅਪਣੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ K ਨਾਲ) ਨੂੰ ਇੱਕ [[ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ]] ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਸਟੇਟਮੈਂਟਾਂ (ਕਥਨ) ਕਿਸੇ ਵੀ ਖੱਬੇ-ਮਾਪਾਂਕ <sub>''R''</sub>''M'' ਤੱਕ ਕਿਸੇ ਰਿੰਗ R ਉੱਤੇ ਬਗੈਰ ਸੁਧਾਰ ਤੋਂ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸੱਜੇ-ਮਾਪਾਂਕ ਤੱਕ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਉਲਟਾਉਣ ਨਾਲ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
[[ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਅਲਜਬਰਾ]]
[[Categoryਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ]]
| 