ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ: ਰੀਵਿਜ਼ਨਾਂ ਵਿਚ ਫ਼ਰਕ

Content deleted Content added
ਛੋ clean up ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ AWB
 
ਲਾਈਨ 3:
[[ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ]] ਵਿੱਚ, ਇੱਕ '''ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ''' (ਜਿਸਨੂੰ 4-ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)<ref>Rindler, W. ''Introduction to Special Relativity (2nd edn.)'' (1991) Clarendon Press Oxford {{ISBN|0-19-853952-5}}</ref> ਚਾਰ [[ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ)|ਪੁਰਜਿਆਂ]] ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਚੀਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ [[ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ]] ਅਧੀਨ ਇੱਕ ਖਾਸ ਤਰੀਕੇ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਚਾਰ-ਵੈਕਟਰ ਕਿਸੇ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ [[ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ]] ਦਾ ਇੱਕ ਤੱਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ [[ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ]] ਦੀ [[ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਥਿਊਰੀ|ਮਿਆਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ]], (½,½) ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਇੱਕ [[ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਸਪੇਸ]] ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ (ਵਿਚਾਰਿਆ) ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਿਸੇ [[ਯੁਕਿਲਡਨ ਵੈਕਟਰ]] ਤੋਂ ਇਸ ਗੱਲ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਵੇਂ ਇਸਦਾ [[ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ]] ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਹੜੀਆਂ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਇਸ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ [[ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ SO(3)|ਸਥਾਨਿਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ]] ਅਤੇ [[ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨ#x-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬੂਸਟ|ਬੂਸਟਾਂ]] (ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਰਾਹੀਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ [[ਇਨ੍ਰਸ਼ੀਅਲ ਰੈਫ੍ਰੈਂਸ ਫ੍ਰੇਮ]] ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ) ਨੂੰ ਸਾਮਿਲ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।<ref name="BaskalKim2015">{{cite book|author1=Sibel Baskal|author2=Young S Kim|author3=Marilyn E Noz|title=Physics of the Lorentz Group|date=1 November 2015|publisher=Morgan & Claypool Publishers|isbn=978-1-68174-062-1}}</ref>{{rp|ch1}}
 
ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, [[ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ]] ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਮਾਡਲਬੱਧ ਕੀਤੇ [[ਸਪੇਸਟਾਈਮ]] ਅੰਦਰ ਪੁਜੀਸ਼ਨ {{math|''x''{{i sup|''μ''}}}} ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਕਿਸੇ ਕਣ ਦਾ [[ਫੋਰ-ਮੋਮੈਂਟਮ]] {{math|''p''{{i sup|''μ''</sup>}}}}, ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ {{mvar|x}} ਉੱਤੇ [[ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੋਰ-ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ]] {{math|''A''{{i sup|''μ''}}(''x'')}}, ਅਤੇ [[ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਪ੍ਰਸਥੀ ਥਿਊਰੀ#ਇੰਡਿਊਸ ਕੀਤੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ|ਡੀਰਾਕ ਅਲਜਬਰੇ]] ਦੇ ਅੰਦਰ [[ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ]]ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮੱਲੀ ਸਬ-ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
 
ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ {{math|Λ}} ਨਾਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨ ਦਾ ਕਿਸੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ [[ਕੌਂਟ੍ਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ|ਕੌਂਟ੍ਰਾਵੇਰੀਅੰਟ]] ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ {{mvar|X}} (ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਂਗ) ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ, ਜੋ ਐਂਟ੍ਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ [[ਇਨ੍ਰਸ਼ੀਅਲ ਫ੍ਰੇਮ#ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ|ਇਨ੍ਰਸ਼ੀਅਲ ਫ੍ਰੇਮ]] ਪ੍ਰਤਿ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ [[ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ]]ਾਂ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ,
 
:<math>X^\prime = \Lambda X,</math>
ਲਾਈਨ 17:
ਜਿੱਥੇ;
 
{{math|<sup>T</sup>}} [[ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਟ੍ਰਾਂਸਪੋਜ਼]] ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
 
ਇਹ ਨਿਯਮ ਓਪਰੋਕਤ ਨਿਯਮ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ [[ਡਿਊਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ]] ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਵਾਸਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦਾ ਡਿਊਲ (ਦੋਹਰਾਪਣ) ਮੂਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਪ੍ਰਤਿ [[ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਥਿਊਰੀ#ਡਿਊਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ|ਬਰਾਬਰ]] ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਤਰਾਂਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਹੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
 
[[ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ]] ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਵਰਤਾਓ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਚਾਰ-ਪੁਰਜਿਆਂ ਵਾਲ਼ੀ ਚੀਜ਼, ਜੋ ਇੱਕ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਸਤੇ, ਦੇਖੋ [[ਬਾਇਸਪਿੱਨੌਰ]] । ਇਹ ਵੀ ਇਸੇਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੀ (ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ) ਹੈ, ਫਰਕ ਸਿਰਫ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਅਧੀਨ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨ ਨਿਯਮ ਮਿਆਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਥਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਨਿਯਮ ਨੂੰ {{math|''X''{{′}} {{=}} Π(Λ)''X''}} ਪੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ {{math|Λ}} ਦੀ ਥਾਂ {{math|Π(Λ)}} ਇੱਕ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹੀ ਟਿੱਪਣੀਆਂ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਅਧੀਨ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਘੱਟ ਜਾਂ ਜਿਆਦਾ ਪੁਰਜਿਆਂ ਵਾਲੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਵੀ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ [[ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ|ਸਕੇਲਰ]], [[ਸਪਿੱਨੌਰ]], [[ਟੈਂਸਰ]], ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ-ਟੈਂਸਰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ।
 
ਇਹ ਲੇਖ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸੰਕਲਪ [[ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ]] ਤੱਕ ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਬਿਆਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੁੱਝ ਨਤਿਜੇ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸੋਧ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹਨ। <!--ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਕੰਮ: ਇਸ ਲੇਖ ਲਈ ਇੱਕ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਸੈਕਸ਼ਨ ਮੁੱਹਈਆਮੁਹੱਈਆ ਕਰਾਓ! -->
 
== ਚਿੰਨ-ਧਾਰਨਾ ==
ਲਾਈਨ 30:
ਵਿਭਿੰਨ ਤੁੱਲ ਚਿੰਨ-ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਫੇਰ ਤੋਂ, ਕਿਸੇ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ''A'' ਨੂੰ [[ਪੌਲੀ ਮੇਟਰੀਸੀਜ਼]] ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ [[ਬੇਸਿਸ (ਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰਾ)|ਅਧਾਰ]] ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:<ref>{{cite book |pages= 1142–1143|author1=J.A. Wheeler |author2=C. Misner |author3=K.S. Thorne | title=[[Gravitation (book)|Gravitation]]| publisher=W.H. Freeman & Co| year=1973 | isbn=0-7167-0344-0}}</ref>
 
:<math> \begin{align}
\mathbf{A} & = (A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3) \\
& = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^1 \boldsymbol{\sigma}_1 + A^2 \boldsymbol{\sigma}_2 + A^3 \boldsymbol{\sigma}_3 \\
& = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^i \boldsymbol{\sigma}_i \\
& = A^\alpha\boldsymbol{\sigma}_\alpha\\
\end{align}</math>
 
ਜਾਂ ਸਪੱਸ਼ਟਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ:
 
:<math> \begin{align}
\mathbf{A} & = A^0\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + A^1 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + A^2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + A^3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix} A^0 + A^3 & A^1 -i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 - A^3 \end{pmatrix}
\end{align}</math>
ਅਤੇ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ, ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਕਾਲਮ ਜਾਂ ਕਤਾਰ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਥਾਂ, ਕਿਸੇ [[ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੇਟ੍ਰਿਕਸ]] (ਮੇਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ [[ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ]] ਅਤੇ [[ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਟ੍ਰਾਂਸਪੋਜ਼]] ਇਸਨੂੰ ਬਗੈਰ-ਬਦਲੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੇਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ [[ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ]] ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੌਡੂਲਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ:
 
:<math> \begin{align}
|\mathbf{A}| & = \begin{vmatrix} A^0 + A^3 & A^1 -i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 - A^3 \end{vmatrix} \\
& = (A^0 + A^3)(A^0 - A^3) - (A^1 -i A^2)(A^1 + i A^2) \\
& = (A^0)^2 - (A^1)^2 - (A^2)^2 - (A^3)^2
\end{align}</math>
ਲਾਈਨ 54:
 
=== ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ===
[[ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਲਜਬਰਾ|ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਲਜਬਰੇ]] ਵਿੱਚ, ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, [[ਗਾਮਾ ਮੇਟਰਿਸ]] ਵੀ ਇੱਕ [[ਅਧਾਰ (ਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰਾ)|ਬੇਸਿਸ]] ਰਚ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਡੀਰਾਕ ਮੇਟ੍ਰਿਕਸ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ [[ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ]] ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤੋੰ ਵੱਧ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਜੋ ਮੁੱਖ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਜਿਆਦਾ ਵੇਰਵੇ ਨਾਲ ਹੈ।
 
[[ਫਾਇਨਮਨ ਸਲੈਸ਼ ਚਿੰਨ]], ਗਾਮਾ ਮੇਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨਾਲ ਸੁੰਗੇੜੇ ਕਿਸੇ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ '''A''' ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪਤਾ ਹੈ।
 
:<math>\mathbf{A}\!\!\!\!/ = A_\alpha \gamma^\alpha = A_0 \gamma^0 + A_1 \gamma^1 + A_2 \gamma^2 + A_3 \gamma^3 </math>
 
ਗਾਮਾ ਮੇਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨਾਲ ਸੁੰਗੇੜਿਆ ਫੋਰ-ਮੋਮੈਂਟਮ, [[ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ]] ਅਤੇ [[ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ]] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਡਿਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਹੋਰ [[ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ]]ਾਂ ਵਿੱਚ,
 
:<math>\mathbf{P}\!\!\!\!/ = P_\alpha \gamma^\alpha = P_0 \gamma^0 + P_1 \gamma^1 + P_2 \gamma^2 + P_3 \gamma^3 = \dfrac{E}{c} \gamma^0 - p_x \gamma^1 - p_y \gamma^2 - p_z \gamma^3 </math>
ਲਾਈਨ 79:
 
<!--Categories-->
[[Categoryਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ]]
[[Categoryਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਥਿਊਰੀ]]
[[Categoryਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ ਧਾਰਨਾਵਾਂ]]
[[Categoryਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਵੈਕਟਰ (ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ)]]
[[Categoryਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ]]