ਵਕਰਤਾ: ਰੀਵਿਜ਼ਨਾਂ ਵਿਚ ਫ਼ਰਕ
ਸਮੱਗਰੀ ਮਿਟਾਈ ਸਮੱਗਰੀ ਜੋੜੀ
ਵਿਕੀਪੀਡੀਅਾ ਨਿਯਮ ਅਨੁਸਾਤ ਸਫ਼ਾ ਤਰਤੀਬ-ਬੱਧ ਕੀਤਾ ਤੇ ਨਵੇਂ ਲਿੰਕ ਦਿੱਤੇ। |
Satdeepbot (ਗੱਲ-ਬਾਤ | ਯੋਗਦਾਨ) ਛੋ clean up ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ AWB |
||
ਲਾਈਨ 1:
[[File:Cell-Shape-Dynamics-From-Waves-to-Migration-pcbi.1002392.s007.ogv|thumb|A migrating, wild-type ''[[Dictyostelium discoideum]]'' ਸੈੱਲ ਜਿਸਦੀ ਹੱਦ ਕਰਵੇਚਰ ਨਾਲ ਰੰਗਦਾਰ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਹੈ. Scale bar: 5 µm; duration: 22 seconds.]]
'''ਵਕਰਤਾ''' [[ਗਣਿਤ]] ਵਿੱਚ, ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਛੁਪੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਸੰਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹੈ। ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਕਰਵੇਚਰ ਉਹ ਮਾਤਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਰਾਹੀਂ ਕੋਈ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਸਤੂ ਫਲੈਟ (ਪੱਧਰੀ), ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਿੱਧੀ ਹੋਣ ਤੋਂ ਝੁਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਸੰਦਰਭ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵੀ ਇਸ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਐਕਸਟਰਿੰਸਿਕ (ਬਾਹਰੀ) ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਇੰਟਰਿੰਸਿਕ (ਅੰਦਰੂਨੀ) ਕਰਵੇਚਰ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਫਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਾਹਰੀ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸਪੇਸ (ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ) ਅੰਦਰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੜੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਓਸ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਛੂਹਣ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ (ਵਕਰਤਾ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ) ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੰਟ੍ਰਿੰਸਿਕ ਕਰਵੇਚਰ (ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਕਰਤਾ) ਕਿਸੇ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (ਬਹੁਪਰਤ) ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਆਰਟੀਕਲ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਪਹਿਲੇ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ਐਕਸਟ੍ਰਿੰਸਿਕ ਕਰਵੇਚਰ (ਬਾਹਰੀ ਵਕਰਤਾ) ਦੀ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਕਰਵੇਚਰ ਇਸਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਉਲਟ (ਰੈਸੀਪਰੋਕਲ) ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ (ਸਰਕਲ) ਜਿਆਦਾ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਝੁਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਾਰਣ ਜਿਆਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਸਮੂਥ ਕਰਵ (ਸੁਚਾਰੂ ਵਕਰ) ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ, ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ (ਛੂਹ ਰਹੇ) ਇਸਦੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਮਾਤਰਾ (ਕੁਆਂਟਿਟੀ) ਹੈ, ਪਰ ਝੁਕਣ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਤਿੱਖੇਪਣ ਨੂੰ ਦਿਮਾਗ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਕੇ ਇੱਕ ਕਰਵੇਚਰ ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਿਆਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਚੀਜ਼ਾਂ
==ਪਲੇਨ ਕਰਵਾਂ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ (ਪੱਧਰੀਆਂ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਵਕਰਤਾ)==
ਮੰਨ ਲਓ C ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਕਰ ਹੈ (ਸ਼ੁੱਧ ਤਕਨੀਕੀ ਮਾਨਤਾਵਾਂ ਥੱਲੇ ਲਿਖੀਆਂ ਹਨ)। ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ C ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਓਸ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਨਾਪ ਹੈ ਕਿ ਗਵਾਂਢੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵੱਲ ਜਾਂਦੀ ਹੋਈ ਇਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (ਟੇਨਜੈਂਟ ਲਾਈਨ) ਕਿੰਨੀ ਕੁ ਸੈਂਸਟਿਵ (ਸਵੇੰਦਨਸ਼ੀਲ) ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਬਰਾਬਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਸ਼ੁੱਧ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ (ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ) ਹੈ। ਕਿਸੇ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਕਰਵੇਚਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਕੁਦਰਤੀ ਗੱਲ ਹੈ। ਰੇਡੀਅਸ R ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਵਿਸ਼ਾਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ R ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ R ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ।
[[Image:Osculating circle.svg|float|right|250px]]
ਲਾਈਨ 16:
: <math> \kappa = \frac{1}{R}.</math>
ਕਿਸੇ ਕਰਵ C ਅਤੇ ਇਸ ਉੱਤੇ ਦਿੱਤੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P ਲਈ, ਇੱਕ ਯੂਨੀਕ ਚੱਕਰ ਜਾਂ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਜਿਆਦਾ ਨੇੜੇ ਤੋਂ P ਦੇ ਨੇੜੇ ਕਰਵ ਨੂੰ
ਕਰਵੇਚਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਭੌਤਿਕੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੋਈ ਪਾਰਟੀਕਲ (ਕਣ) ਯੂਨਿਟ ਸਪੀਡ ਨਾਲ ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਹੈ। C ਲਈ ਟਾਈਮ s ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (ਮਾਪਦੰਡ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਕਰਵ ਲਈ ਕੁਦਰਤੀ ਮਾਪਦੰਡਤਾ (ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰੀਜ਼ੇਸ਼ਨ) ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਯੂਨਿਟ ਟੇਨਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਵੈਕਟਰ T (ਜੋ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਪਾਰਟੀਕਲ ਯੂਨਿਟ ਸਪੀਡ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਟਾਈਮ ਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ, ਕਰਵੇਚਰ, T ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ (ਰੇਟ ਔਫ ਚੇਂਜ) ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ (ਮੁੱਲ/ਮਾਤਰਾ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
:<math>\kappa = \left\|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\|.</math>
[[Image:FrenetTN.svg|thumb|right|350px|ਕਿਸੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ T ਅਤੇ N ਵੈਕਟਰ, ਦੂਜੀ ਫਰੇਮ (ਡੌਟਡ) ਦਾ ਇੱਕ ਬਦਲਿਆ ਹੋਏ ਰੂਪ, ਅਤੇ T ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ
ਇਹ ਪਾਰਟੀਕਲ ਦੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ
ਕਰਵਚੇਰ ਪ੍ਰਤਿ ਇਹ ਦੋਹੇ ਪਹੁੰਚਾਂ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਨਿਰੀਖਣ ਰਾਹੀਂ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਪਹਿਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਚੱਕਰ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਆਰਕ ਦੇ ਕਿਸੇ ਐਂਗਲ ਦੇ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸੇਤਰਾਂ, ਕਿਸੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਦਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕਰਵਵੇਚਰ
===ਸ਼ੁੱਧ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ===
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ C
:<math>\|\gamma'\|^2 = x'(t)^2 + y'(t)^2 \not= 0</math>
ਲਾਈਨ 40:
}}</ref>
ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ T(s) ਯੂਨਿਟ
: <math> \mathbf{T}(s)=\gamma'(s),\quad \mathbf{T}'(s)=k(s)\mathbf{N}(s),\quad \kappa(s) = \|\mathbf{T}'(s)\| = \|\gamma''(s)\| = \left|k(s)\right|, \quad R(s)=\frac{1}{\kappa(s)}.</math>
ਮਨਮਰਜੀ ਦੇ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਵਿੱਚ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਿਵਰਣ
===ਸਾਇਨਡ ਕਰਵੇਚਰ ===
ਸਾਇਨਡ ਕਰਵੇਚਰ k ਓਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਯੂਨਿਟ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਐਂਟੀਕਲੌਕਵਾਇਜ਼ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ k > 0 ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਲੌਕਵਾਇਜ਼ (ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ) ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ k < 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਗਰਾਫ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ
ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਕਰਵ ਲਈ ਚੁਣੇ ਗਏ ਖਾਸ ਮਾਪਦੰਡਕਰਣ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਯੂਨਿਟ ਚੱਕਰ ਨੂੰ
=== ਸਥਾਨਿਕ ਦਰਸਾਓ ===
ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ
:<math>\kappa = \frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}},</math>
ਲਾਈਨ 61:
:<math>k = \frac{m}{x'^2+y'^2},\ \ \ m = \frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{1/2}} = (x'',y'')\cdot\frac{(-y',x')}{\|(-y',x')\|} = \mathbf{t}'\cdot\mathbf{\hat{t}}_{\bot}.</math>
ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸੁਤੰਤਰ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ
:<math>k = \frac{\det(\gamma',\gamma'')}{\|\gamma'\|^3},\ \ \ \kappa = \frac{|\det(\gamma',\gamma'')|}{\|\gamma'\|^3}.</math>
===ਕਿਸੇ ਗਰਾਫ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ===
<math>y=f(x)</math> ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਾਹਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕਿਸੇ ਪਲੇਨ ਕਰਵ ਦੇ ਜਰਾ ਘੱਟ ਆਮ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ,
:<math>\kappa = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}</math> ,
ਲਾਈਨ 72:
:<math>k = \frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}</math> .
ਇਹ ਮਾਤਰਾ ਫਿਜਿਕਸ ਅਤੇ ਇੰਜਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਆਮ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ;: ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬੀਮਾਂ ਵਿੱਚ ਝੁਕਾਓ ਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਟੈਂਸ ਸਟਰਿੰਗ ਦੀ 1 D ਵਾਈਬਰੇਸ਼ਨ (ਕੰਪਨ)
:<math>\kappa \approx \left|\frac{d^2y}{dx^2}\right|</math>
ਇਹ ਸੰਖੇਪਤਾ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਦਾ ਵਿਵਰਣ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਿੱਧੀ ਹੀ ਲੀਨੀਅਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਰਵ ਪੋਲਰ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਜਿਵੇਂ <math>r(\theta)</math>
:<math>\kappa(\theta) = \frac{|r^2 + 2r'^2 - r r''|}{\left(r^2+r'^2 \right)^{3/2}}</math>
ਜਿੱਥੇ ਹੁਣ ਪਰਾਈਮ
==ਸਪੇਸ ਕਰਵਾਂ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ==
[[File:Torus-Knot uebereinander animated.gif|thumb|upright|ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਐਨੀਮੇਸ਼ਨ <math>\mathbf{T}'(s)</math>]]
ਜਿਵੇਂ ਦੋ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਵਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ (ਅਤੇ ਜਿਆਦਾ) ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਨਿਯਮਤ (ਰੈਗੁਲਰ) ਸਪੇਸ ਕਰਵ C ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ, ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਯੂਨਿਟ ਸਪੀਡ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਪਾਰਟੀਕਲ ਦੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
:<math>\mathbf{T}(s) = \gamma'(s)</math>
ਲਾਈਨ 92:
:<math>\kappa(s) = \|\mathbf{T}'(s)\| = \|\gamma''(s)\|.</math>
ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਯੂਨਿਟ ਨੌਰਮਲ ਵੈਕਟਰ N(s) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ
:<math>\mathbf{N}(s) = \frac{\mathbf{T}'(s)}{\|\mathbf{T}'(s)\|}.</math>
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ T(s)
:<math>\kappa(s) = \frac{1}{R(s)}.</math>
ਟੇਨਜੈਂਟ, ਕਰਵੇਚਰ, ਅਤੇ ਨੌਰਮਲ ਵੈਕਟਰ ਇਕਠੇ ਹੀ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਨੇੜੇ ਕਰਵ ਦੇ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਦਾ ਵਿਵਰਣ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਕਰਵ ਦਾ ਤੀਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਵਰਤਾਓ ਟੌਰਜ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਸਬੰਧਿਤ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਹ ਪਲ ਨਾਪਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤੱਕ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੈਲੀਕਲ ਰਸਤੇ ਵਿੱਚ ਕਰਵ ਗਤੀ ਕਰਨ ਵਾਲ ਮਜਬੂਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਟੌਰਜ਼ਨ ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ ਫਰਨੈੱਟ-ਸੀਰੇਟ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ (ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ) ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ) ਰਾਹੀਂ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੇ
===ਲੋਕਲ ਐਕਸਪਰੈਸ਼ਨਜ਼===
ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ
the curvature is
ਲਾਈਨ 110:
ਜਿੱਥੇ ਪਰਾਈਮਜ਼ ਮਾਪਦੰਡ t ਪ੍ਰਤਿ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਰਾਹੀਂ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;
:<math>\kappa
ਜਿੱਥੇ × ਵੈਕਟਰ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੀ,
:<math>\kappa = \frac{\sqrt{\det\left(
ਇੱਥੇ t ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਟਰਾਂਸਪੋਜ਼ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਆਖਰੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਰਵਾਂ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਲਈ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਲਾਈਨ 123:
:<math>\kappa(P) = \lim_{Q\to P}\sqrt{\frac{24\left(s(P,Q)-d(P,Q)\right)}{s(P,Q)^3}}</math>
ਜਿੱਥੇ ਲਿਮਿਟ ਇਹ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ C ਉੱਤੇ Q ਬਿੰਦੂ
=== ਉੱਚ-ਅਯਾਮ: ਸਪੇਸ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ===
ਮੁਢਲੇ ਤਰਕ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨਾਲ, ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਜਿਆਦਾ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰਵ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਕਰਵੇਚਰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰ ਜਗਹ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਾ ਕੇਵਲ ਕਿਸੇ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸਪੇਸ ਦੇ ਪ੍ਰਤਿ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਕਿਸੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇਸਨੂੰ
ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਖੋਜ ਤੋਂ ਬਾਦ, ਜੋ ਕਿ ਗੈਰ-ਯੂਨਿਕਲਡਨ ਜੀਓਮੈਟਰੀ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੈ, ਕਈ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨਿਕਾਂ ਨੇ ਸਵਾਲ ਕੀਤਾ ਕਿ ਕੀ
ਭਾਵੇਂ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜੀ ਦੀ ਕਰਵਡ ਸਪੇਸ ਵਿਵਰਣ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਸਪੇਸ ਦੀ ਕਰਵੇਚਰ ਜੋ ਸਥਾਨਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਆਈਸੋਟ੍ਰੌਪਿਕ ਅਤੇ ਹੋਮੋਜੀਨੀਸਅਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਗੌਸ਼ੀਅਨ ਕਰਵੇਚਰ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਤਾਕਤਵਰ ਸ਼ਰਤਾਂ ਹਨ, ਪਰ ਇਹ
=== ਸਮਾਨੀਕਰਨ (ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ)===
ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ
ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਕਲਪ ਬਹੁਤ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਸੰਦਰਭਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਪਹਿਲੂਆਂ ਤੇ ਜੋਰ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਇਹ ਥੱਲੇ ਦੇ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੋਵੇ।
ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਾਇਨੈਮੈਟਿਕ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਕਰਵ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਕਾਇਨੈਮੈਟਿਕ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਚਾਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਔਬਜ਼ਰਵਰ ਦੁਆਰਾ ਮਹਿਸੂਸ ਕੀਤੇ ਫੋਰਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੈ; ਇਸਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ, ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਵੇਚਰ ਨੂੰ ਟਾਈਡਲ ਫੋਰਸ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਕਰਵੇਚਰ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇਹ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ)। ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇਹ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਟੈਸਟ ਪਾਰਟੀਕਲ ਕਿੰਨੀ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਫੈਲਦੇ (ਡਾਇਵਰਜ) ਜਾਂ ਸੁੰਗੜਦੇ (ਕੌਨਵਰਜ) ਹਨ ਜਦੋਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਅਜ਼ਾਦੀ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਰਹਿਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੈਕਬੀ ਫੀਲਡ ਬਾਰੇ ਪੜੋ।
ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ਾਲ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਸਤਹਿ ਉੱਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਤੋਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਗੋਲੇ ਦੀ ਸਤਹਿ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਬੰਦ ਲੂਪ ਦੁਆਲੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਗਤੀ ਦੌਰਾਨ ਇਸਦੇ ਖੁਦ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੱਖ ਕੇ ਗਤੀ ਦੇਈਏ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਅੰਤਿਮ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਇਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਹੋਲੋਨੋਮੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੋਲੋਨੋਮੀ ਦੇ ਨਾਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਇਸ ਆਈਡੀਏ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਰਵੇਚਰ ਸ਼ਕਲ ਬਾਰੇ ਪੜੋ। ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸੰਕਲਪ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਗੇਜ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਕਰਵੇਚਰ
ਕਰਵੇਚਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਹੋਰ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਸਕੇਲਰ ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਰਿੱਚੀ ਕਰਵੇਚਰ ਹਨ। ਵਕਰਿਤ ਸਤਹਿ ਜਿਵੇਂ ਸਫੀਅਰ ਵਿੱਚ, ਸਤਹਿ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਡਿਸਕ (ਚੱਕਰੀ ਸਤਹਿ) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਓਸੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦੀ ਡਿਸਕ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਫਰਕ (ਢੁਕਵੀਂ ਹੱਦ ਤੱਕ) ਸਕੇਲਰ ਕਰਵੇਚਰ ਰਾਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡਿਸਕ ਦੇ ਹਿੱਸੇ (ਸੈਕਟਰ) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅੰਤਰ ਰਿੱਚੀ ਕਰਵੇਚਰ ਰਾਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਉੱਚ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ ਸਕੇਲਰ ਅਤੇ ਰਿੱਚੀ ਕਰਵੇਚਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀਆਂ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਾਈਡ ਉੱਤੇ ਦਿਸਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਪੇਸ-ਟਾਈਮ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਹਨਾਂ ਦੀ ਦੂਜੀ ਸਾਈਡ ਪਦਾਰਥ ਅਤੇ ਊਰਜਾ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੈ)। ਕਰਵੇਚਰ ਦੀਆਂ ਇਹ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਸਥਾਪਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਨਾਪ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਨਾਪ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਬਾਰੇ ਪੜੋ।
ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਅਜਿਹੀ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਥਿਰ ਕਰਵੇਚਰ ਹੋਵੇ।
==ਹਵਾਲਾ==
[[ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ]]
|