|
ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਤੇਜ਼ ਵਿਕਾਸ ਨੇ ਇੱਕ ਰਹੱਸਮਈ ਗਣਿਤਿਕ ਢਾਂਚੇ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕੀਤੀ ।ਕੀਤੀ। ਭਾਵੇਂ ਤੇਜ਼ ਵਿਕਾਸ ਕਰਕੇ ਅਜਿਹੇ ਪਲ ਆਏ ਸਨ, ਜਦੋਂ ਇੰਨੇ ਕਠਿਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਹੀਂ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਸਨ, ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਨਾਲ ਕਠਿਨਤਾ ਨਾਲ ਸਾਬਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ।ਗਏ।
[[File:Standing waves on a string.gif|thumb|The state of a [[vibrating string]] can be modeled as a point in a Hilbert space. The decomposition of a vibrating string into its vibrations in distinct [[overtone]]s is given by the projection of the point onto the coordinate axes in the space.]]
ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਰਾਹੀਂ, ਪਹਿਲਾ ਸੰਸਲੇਸ਼ਣ ਜੌਹਨ ਵੌਨ ਨਿਊਮਨ ਦੁਆਰਾਂ ਮਹਿਸੂਸ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ।ਗਿਆ। ਇੱਕ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦਾ ਸਰਵਸਧਾਰੀਕਰਣ ਹੈ ਜੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਹੀ ਸੀਮਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸਤਰਾਂਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹ ਇੱਕ [[ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ]] ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਐਂਗਲਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ- ਖਾਸਕਰ ਕੇ [[ਔਰਥੋਗਨਲਟੀ]] ਦੀ ਧਾਰਨਾ ।ਧਾਰਨਾ। ਹੋਰ ਤਾਂ ਹੋਰ, ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਣਤਾ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਤੇ ਵੀ ਖਰੀ ਉਤਰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਛਾ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹੱਦਾਂ ਦੀ ਹੋਂਦ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਥਿਊਰੀ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਸਹੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਵੌਨ ਨਿਊਮਨ ਦੀ ਪਹੁੰਚ ਹੋਰ ਆਮ ਸਪੇਸਾਂ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ- ਜਿਵੇਂ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਸਪੇਸਾਂ- ਜੋ, ਭਾਵੇਂ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਵਿੱਚ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਵੀ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅੱਖੋਂ ਉਹਲੇ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਜੇਕਰ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰਾਂ ਦੇ ਕਠਿਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਹੋਵੇ ।ਹੋਵੇ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਇਹ ਵਿਸ਼ਾਲ ਬਣਤਰ, ਜੋ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਨਾਲ ਮਿਲਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਰੂਸੀ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ [[ਇਸਰੇਲ ਮੌਸੀਵਿਚ ਗਲਫਾਂਡ]] (ਜਨਮ 1913) ਦੁਆਰਾ ਕੁੱਝ ਦੇਰ ਬਾਦ ਬਣਾਈ ਗਈ ।ਗਈ। ਉਸਨੇ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਰਿਜਿੱਡ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ , ਜਾਂ ਗਲਫਾਂਡ ਟਰਿਪਲੈੱਟ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ।ਕੀਤੀ।
<ref>{{harvnb|Marsden|1974|loc=§2.8}}</ref>
== ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ==
[[File:ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸੰਪੂਰਣਤਾ.png|thumb|ਸੰਪੂਰਣਤਾ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਣ ਕਿਸੇ ਟੁੱਟੇ ਹੋਏ ਰਸਤੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਸੀਮਤ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ (ਸੰਤਰੀ ਰੰਗ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ) ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ]]ਰਿਜਿੱਡ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਰਿਜਿੱਡ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ;
* ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ (ਲੀਨੀਅਰ) ਸਪੇਸ ਦੀ ਬੀਜ ਗਣਿਤਿਕ (ਅਲਜਬਰਿਕ) ਬਣਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ
* ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਊਕਲੀਅਰ [[ਟੌਪੌਲੌਜੀ]] ਜਿਸ ਦੇ ਹਿਸਾਬ ਨਾਲ ਸੰਪੂਰਣਤਾ Φ’ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। (ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਆਂਕੜਿਆਂ ਦੇ ਅਕਾਰ ਜਾਂ ਸ਼ਕਲ ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਤਬਦੀਲੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੋਏ ਬਗੈਰ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸਥਾਨਿਕ ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)
* ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਹਿਸਾਬ ਨਾਲ ਇਹ ਰੇਖਿਕ (ਲੀਨੀਅਰ) ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ H ਰਚਣ ਲਈ ਪੂਰੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
* ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੀਜੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ Φ ਦੀ ਦੋਹਰੀ ਸਪੇਸ Φ’ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। <ref name="ReferenceA">Mathematical Foundations of Quantum Physics Doctorandus Adrian Stan Zernike Institute for Advanced Materials { Groningen, The Netherlands }</ref>
[[File:Triangle inequality in a metric space.svg|300px|center]]
=== ਟੌਪੌਲੌਜੀ ===
[[File:ਤਿਕੋਣੀ ਅਸਮਾਨਤਾ.png|thumb|ਤਿਕੋਣੀ ਅਸਮਾਨਤਾ]]
ਇੱਥੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਮੁਢਲੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ X ਕੋਈ ਸੈੱਟ ਹੈ ਅਤੇ p(X) = {Y| Y⊂ X} ਇਸਦੇ ਸਾਰੇ ਸਬ-ਸੈੱਟ ਹੋਣ ।ਹੋਣ। p(X) ਦਾ ਇੱਕ ਸਬ-ਸੈੱਟ T ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਕਰਨ ਤੇ ਹੀ ਇਸਦੀ (X ਦੀ) ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;
* ਖਾਲੀ ਸੈੱਟ O ⊂ T ਅਤੇ X, ਦੋਵੇਂ T ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੋਣ । ਹੋਣ।
* T ਦੇ ਮਨਚਾਹੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਯੂਨੀਅਨ ਵੀ T ਦਾ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੋਵੇ । ਹੋਵੇ।
* T ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ (ਕਾਟ) ਵੀ T ਦਾ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੋਵੇ । ਹੋਵੇ।
ਜੇਕਰ T , X ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ T ਦੇ ਨਾਲ ਇਕੱਠੇ ਲਏ ਗਏ X ਨੂੰ (ਜਿਸਨੂੰ ਜੋੜੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ (X, T) ਨਾਲ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। T ਵਿਚਲੇ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਓਪਨ ਸੈੱਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।<ref>Mathematical Foundations of Quantum Physics Doctorandus Adrian Stan Zernike Institute for Advanced Materials { Groningen, The Netherlands }<name="ReferenceA"/ref>
== ਨੋਟਸ ==
* [http://terrytao.wordpress.com/2009/01/17/254a-notes-5-hilbert-spaces/ 245B, notes 5: Hilbert spaces] by [[Terence Tao]]
[[Categoryਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ]]
| 