ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡ

ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਅੰਦਰ, ਕਿਸੇ n-ਅਯਾਮੀ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (M, g) ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨ ਬਣਤਰ ਦਿੱਤੀ ਹੋਣ ਤੇ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਬੰਡਲ S ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ (ਸੈਕਸ਼ਨ) ਨੂ੍ੰ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਬੰਡਲ

$\pi _{\mathbf {S} }:{\mathbf {S} }\to M\,$

ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ Δ_n ਉੱਤੇ ਇਸਦੇ ਬਣਤਰ ਗਰੁੱਪ ਸਪਿੱਨ(n) ਦੀ ਸਪਿੱਨ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਰਾਹੀਂ M ਉੱਪਰ ਸਪਿੱਨ ਫ੍ਰੇਮਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧਤ ਪ੍ਰਿੱਸੀਪਲ ਬੰਡਲ

$\pi _{\mathbf {P} }:{\mathbf {P} }\to M\,$

ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਬੰਡਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ, ਸਪਿੱਨ s ਵਾਲੇ ਕਣ, 2s-ਅਯਾਮੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ s, ਇੱਕ ਇੰਟਜਰ ਜਾਂ ਇੱਕ ਅਧਾ-ਇੰਟਜਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਰਮੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂਕਿ ਬੋਸੌਨਾਂ ਨੂੰ ਟੈਂਸਰ ਫੀਲਡ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਮੰਨ ਲਓ (P, F_P) ਕਿਸੇ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (M, g) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨ ਬਣਤਰ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, $\rho :{\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)\,.$ ਦੀ ਦੋਹਰੀ ਕਵਰਿੰਗ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾਬੱਧ ਰੱਖੇ ਗਏ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਫ੍ਰੇਮ ਬੰਡਲ $\mathrm {F} _{SO}(M)\to M$ ਦੀ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਦੀ ਲਿਫਟ। ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ $\pi _{\mathbf {S} }:{\mathbf {S} }\to M\,$ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਬੰਡਲ

${\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,$

ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ $\kappa :{\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,$ ਸਦਕਾ ਸਪਿੱਨ ਬਣਤਰ P ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ U(W) ਕਿਸੇ ਹਿਲਬ੍ਰਟ ਸਪੇਸ W ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਕੋਈ ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡ ਸਪਿੱਨੌਰ ਬੰਡਲ S ਦੇ ਕਿਸੇ ਭਾਗ (ਹਿੱਸਾ) ਹੋਣ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੁਚਾਰੂ ਮੈਪਿੰਗ $\psi :M\to {\mathbf {S} }\,$ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿ $\pi _{\mathbf {S} }\circ \psi :M\to M\,$, M ਦਾ ਪਛਾਣ ਮੈਪਿੰਗ id_M ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

• ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਫ੍ਰੇਮ ਬੰਡਲ
• ਸਪਿੱਨੌਰ
• ਸਪਿੱਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ
• ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ
• ਸਪਿੱਨ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀ

ਹਵਾਲੇ

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.
• Friedrich, Thomas (2000), Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2055-1