ਲੀ ਅਲਜਬਰਾ

"ਲਾਈ ਬ੍ਰਾਕੈੱਟ" redirects here. For ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਉੱਤੇ ਓਪਰੇਸ਼ਨ, see ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੀ ਲਾਈ ਬ੍ਰਾਕੈੱਟ.

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਲੀ ਅਲਜਬਰਾ (ਉੱਚਾਰਣ /liː/ "ਲੀ") ਕਿਸੇ ਗੈਰ-ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ, ਬਦਲਵੇਂ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}};(x,y)\mapsto [x,y]$, ਜਿਸਨੂੰ ਜੈਕਬੀ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਸਤੁੰਸ਼ਟ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਲੀ ਬ੍ਰਾਕੈੱਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਾਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ${\mathfrak {g}}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਲੀ ਅਲਜਬਰੇ ਲੀ ਗਰੁੱਪਾਂ ਨਾਲ ਨੇੜੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਅਜਿਹੇ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਸੁਚਾਰੂ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੀ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਇਨਵਰਸ਼ਨ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਸੁਚਾਰੂ ਮੈਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕੋਈ ਵੀ ਲੀ ਗਰੁੱਪ ਕਿਸੇ ਲੀ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਜਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਪਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਲੀ ਅਲਜਬਰੇ ਲਈ, ਕਵਰਿੰਗ ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਬੰਧਤ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਲੀ ਗਰੁੱਪ ਨਿਰਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਲੀ ਦੀ ਤੀਜੀ ਥਿਊਰਮ)। ਇਹ ਲੀ ਗਰੁੱਪਾਂ ਅਤੇ ਲੀ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਮੇਲਜੋਲ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲੀ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਕਾਬਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਲੀ ਅਲਜਬਰੇ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਪੈਮਾਨੇ ਉੱਤੇ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ । ਲੀ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦਾ ਨਾਮ 1930ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ ਸੋਫਸ ਲੀ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਹਰਮਨ ਵੇਇਲ ਨੇ ਰੱਖਿਆ । ਪੁਰਾਣੀਆਂ ਪੁਸਤਕਾਂ ਵਿੱਚ, ਨਾਮ ਅਤਿਸੂਖਮ ਗਰੁੱਪ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਇਤਿਹਾਸ

ਲੀ ਅਲਜਬਰੇ 1870ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ ਮਾਰੀਅਸ ਸੋਫਸ ਲੀ ਦੁਆਰਾ ਅਤਿਸੂਖਮ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ, ਅਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ 1880ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ ਵਿਲਹੇਲਮ ਕਿਲਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜੇ ਗਏ ਸਨ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ

ਕਿਸੇ ਲੀ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਇੱਕ ਲੀ ਅਲਜਬਰਾ ਇੱਕ ਬਾਇਨਰੀ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਕਿਸੇ ਫੀਲਡ F $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ ਜਿਸ ਨੂੰ ਲੀ ਬ੍ਰਾਕੈੱਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੇ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਤੇ ਖਰੀ ਉਤਰਦੀ ਹੈ:

• ਬਾਇਲੀਨੀਅਰਟੀ,

$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

${\mathfrak {g}}$ ਵਿੱਚ, ਸਾਤੇ ਤੱਤਾਂ x, y, z ਅਤੇ F ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਸਕੇਲਰਾਂ a, b ਲਈ ।

• ਬਦਲਤਾਮਿਕਤਾ,

$[x,x]=0\$

${\mathfrak {g}}$ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ।

• ਜੈਕਬੀ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ

$[x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0\$

${\mathfrak {g}}$ ਅੰਦਰ ਸਾਰੇ x, y, z ਵਾਸਤੇ ।

ਹਵਾਲੇ

• Beltita, Daniel. Smooth Homogeneous Structures in Operator Theory, CRC Press, 2005. ISBN 978-1-4200-3480-6
• Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M. & Núñez, Juan. A new method for classifying complex filiform Lie algebras, Applied Mathematics and Computation, 121 (2-3): 169–175, 2001
• Bourbaki, N. (1989). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3. Berlin·Heidelberg·New York: Springer. ISBN 978-3-540-64242-8. 
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Hall, B. C. (2015). Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 222 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3319134666. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-3-319-13467-3. 
• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-032-6. 
• Humphreys, J. E. (1978). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. 9 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5. 
• Jacobson, N. (1979) [1962]. Lie algebras. New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63832-4. 
• Kac, Victor G.; et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras.  CS1 maint: Explicit use of et al. (link)
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (2000). "Biography of Sophus Lie". MacTutor History of Mathematics Archive. 
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (2005). "Biography of Wilhelm Killing". MacTutor History of Mathematics Archive. 
• Serre, J-P. (2006). Lie Algebras and Lie Groups (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-55008-9. 
• Steeb, W.-H. Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra, second edition, World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-809-0
• Varadarajan, V.S. (2004). Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations (1st ed.). Springer. ISBN 0-387-90969-9. 

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Lie algebra", ਗਣਿਤ ਦਾ ਵਿਸ਼ਵਕੋਸ਼, ਸਪਰਿੰਗਰ, ISBN 978-1-55608-010-4 
• McKenzie, Douglas, (2015), "An Elementary Introduction to Lie Algebras for Physicists"