ਯੁਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸਕੁਏਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $U$ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਟ੍ਰਾਂਸਪੋਜ਼ $U *$ ਇਸੇ ਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਹੋਵੇ- ਯਾਨਿ ਕਿ, ਜੇਕਰ

U^{*}U=UU^{*}=I,

ਜਿੱਥੇ $I$ ਇੱਕ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਖਾਸਕਰ ਕੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਕੰਜੂਗੇਟ ਜੋ ਡੈਗਰ (†) ਨਾਲ ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਉਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ

U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.

ਕਿਸੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਐਨਾਲੌਗ ਇੱਕ ਔਰਥੋਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਹੱਤਤਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਨੂੰ ਵੀ।

ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਸੀਮਤ ਅਕਾਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $U$ ਵਾਸਤੇ, ਇਹ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ:

ਦੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰਾਂ $x$ ਅਤੇ $y$ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, $U$ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ; ਯਾਨਿ ਕਿ,

⟨ Ux, Uy ⟩ = ⟨ x, y ⟩

$U$ ਨੌਰਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
$U$ ਡਿਗਨਲਾਇਜ਼ੇਬਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਯਾਨਿ ਕਿ, ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਇੱਕ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, $U$ ਕਿਸੇ ਡਿਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਜੁਲਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, $U$ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਡੀਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

U=VDV^{*},

ਜਿੱਥੇ

V

ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ

D

ਡਿਗਨਲ ਅਤੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

$\left|\operatorname {det} (U)\right|=1$ .
ਇਸਦੀਆਂ ਆਈਗਨ-ਸਪੇਸਾਂ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
$U$ ਨੂੰ $U$ = $e$ ^{$i$ $H$} ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $e$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ, ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, $i$ ਕਾਲਪਨਿਕ ਇਕਾਈ ਹੈ, ਅਤੇ $H$ ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਗੈਰ-ਨੈਗਟਿਵ ਇੰਟਜਰ n ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਕਸ ਗੁਣਨਫਲ, ਸਾਰੇ n × n ਯੁਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਰਚਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ U(n) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਕਾਈ ਯੁਕਿਲਡਨ ਨੌਰਮ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸਕੁਏਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਦੋ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ^[1]

ਬਰਾਬਰ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ

ਜੇਕਰ U ਇੱਕ ਸਕੁਏਅਰ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਬਰਾਬਰ ਦੀਆਂ ਹਨ:

U ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
U^∗ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
U, U⁻¹ = U^∗ ਨਾਲ ਉਲਟਾਉਣ-ਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
U ਦੇ ਕਾਲਮ, ਆਮ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਤਿ $\mathbb {C} ^{n}$ ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਅਧਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
U ਦੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਆਮ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਤਿ $\mathbb {C} ^{n}$ ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਅਧਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
U ਆਮ ਨੌਰਮ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੈਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
U ਇੱਕ ਨੌਰਮਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਰੱਖੇ ਹੁੰਦ ਹਨ।

ਬੁਨਿਆਦੀ ਬਣਤਰਾਂ

2 × 2 ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਕਿਸੇ 2 × 2 ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਆਮ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1,

ਜੋ 4 ਵਾਸਤਵਿਕ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ:

a

ਦਾ ਫੇਜ਼,

b

ਦਾ ਫੇਜ਼,

a

ਅਤੇ

b

ਦਰਮਿਆਨ ਸਾਪੇਖਿਕ ਮੈਗਨੀਟਿਉਿਡ, ਅਤੇ

ਕੋਣ

φ

)

ਅਜਿਹੇ ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਇੰਝ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

\det(U)=e^{i\varphi }.

$U$ ਦਾ $\det(U)=1$ ਨਾਲ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਉੱਪ-ਸਮੂਹ ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ SU(2) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $U$ ਨੂੰ ਇਸ ਬਦਲਵੀਂ ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \\\end{bmatrix}},

ਜੋ, φ₁ = ψ + Δ ਅਤੇ φ₂ = ψ − Δ ਦਾਖਲ ਕਰਨ ਨਾਲ, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.

ਇਹ ਦਰਸਾਓ (ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ), ਕੋਣ $θ$ ਦੇ 2 × 2 ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਅਤੇ 2 × 2 ਔਰਥੋਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਹੋਰ ਹਿੱਸਾ-ਕਰਨ-ਕ੍ਰਿਆ ਜੋ ^[2] ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:

$U={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\-\sin \beta &\cos \beta \\\end{bmatrix}}.$

ਕਿਸੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਮੁਢਲਿਆਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਹੋਰ ਹਿੱਸਾ-ਕਰਨ-ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਸੰਭਵ ਹਨ।

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

ਹਵਾਲੇ

↑ Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Additive decomposition of real matrices". Linear and Multilinear Algebra. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507.
↑ Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "A note on factoring unitary matrices". Linear Algebra and its Applications. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN 0024-3795.

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

Weisstein, Eric W., "Unitary Matrix" from MathWorld.
Ivanova, O. A. (2001) [1994], "Unitary matrix", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
"Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1". Stack Exchange. March 28, 2016.

[1] Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Additive decomposition of real matrices". Linear and Multilinear Algebra. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507.

[2] Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "A note on factoring unitary matrices". Linear Algebra and its Applications. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN 0024-3795.

[1]

[2]