ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਤੰਤਰ

ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਤੰਤਰ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਚੱਲਾ ਦਾ ਸੰਯੋਗ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ,

ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਤੰਤਰ ਕਾਟ ਬਿੰਦੂ ਹੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾੳੁਂਦਾ ਹੈ

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

ਇਹ ਤਿੰਨ ਚੱਲ x, y, z ਵਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਤੰਤਰ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾ ਦਾ ਹੱਲ ਇਹੋ ਹੈ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸਟ ਕਰੇ। ਉਪਰ ਲਿਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਨ:

${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}$

ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਾਰੀਆਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਸਹੀ ਹੈ। ਤੰਤਰ ਦਾ ਮਤਲਵ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕ ਹੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾਵੇ ਇਕੱਲਾ ਨਹੀਂ। ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਤੰਤਰ ਰੇਖੀ ਅਲਜਬਰਾ ਦਾ ਅਧਾਰਿਕ ਅਤੇ ਮੁਢਲਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਆਧੂਨਿਕ ਯੁੱਗ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਵਰਤੋਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ

The solution set for the equations x − y = −1 and 3x + y = 9 is the single point (2, 3).

ਦੋ ਚੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾ:

${\begin{alignedat}{5}x&&\;-\;&&y&&\;=\;&&-1&\\3x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&9&.\end{alignedat}}$

ਇਸ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਢੰਗ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ:

ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ $x$ ਨੂੰ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:

$x=-1+y.$

ਹੁਣ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ

$3\left(-1+y\right)+y=9.$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਸਿਰਫ ਇਕੋ ਹੀ ਚੱਲ $y$ ਹੈ। ਜਿਸ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ $y=3$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਨਾਲ $x$ ਦਾ ਮੁੱਲ, $x=2$ ਹੁੰਦਾ ਹੇ।

ਸਤੰਤਰ ਹੱਲ

ਜੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਤੋਂ ਨਾ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਤੰਤਰ ਨੂੰ ਸਤੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਮੀਕਰਨਾਂ x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, ਅਤੇ 4x + 3y = 7 ਰੇਖੀ ਨਿਰਭਰ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ

$3x+2y=6\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;6x+4y=12$

ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਸਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇਹ ਇਕੋ ਹੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ ਸਿਰਫ ਪਹਿਲ਼ੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੇ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗਰਾਫ ਇਕ ਹੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਉਦਾਰਹਣ:

${\begin{alignedat}{5}x&&\;-\;&&2y&&\;=\;&&-1&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;=\;&&8&\\4x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&7&\end{alignedat}}$

ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਸਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕੇ ਤੀਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋਨੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੀਆਂ ਤੋਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦਾ ਗਰਾਫ ਤਿੰਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਰੇਖੀ ਗਰਾਫ ਇਕੋ ਹੀ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ਉਹੀ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।

ਇਕਸਾਰਤਾ

ਸਮੀਕਰਨਾ 3x + 2y = 6 ਅਤੇ 3x + 2y = 12 ਵਿੱਚ ਇਕਸਾਰਤਾ ਹੈ।

ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾ ਦਾ ਤੰਤਰ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ ਤਾਂ ਅਨਿਯਮਤ ਜਾਂ ਨਾ-ਇਕਸਾਰਤਾ ਹੈ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਇਕਸਾਰਤਾ ਹੈ। ਜਿਵੇ 0 = 1. ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ:

$3x+2y=6\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;3x+2y=12$

ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇਕਸਾਰਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਮਤਲਵ ਅਨਿਯਮਤ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਨੋ ਪਾਸੇ ਨੂੰ 1/6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, 0 = 1 ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗਰਾਫ ਸਮਾਂਨਅੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਨਿਯਮਤ ਹੋਣਾ ਸੰਭਵ ਹੇ ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ।

${\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\2x&&\;+\;&&y&&\;=\;&&1&\\3x&&\;+\;&&2y&&\;=\;&&3&\end{alignedat}}$

ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਨਿਯਮਤ ਹਨ। ਜੇ ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਜਿਹੜੀ ਸਮੀਕਰਨ 3x + 2y = 2 ਬਣਦੀ ਹੈ ਉਸ ਨੂੰ ਤੀਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚੋ ਘਟਾਉਣ ਤੇ 0 = 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਚੱਲ ਦਾ ਵਿਲੋਪਣ

ਚੱਲਾਂ ਦਾ ਵਿਲੋਪਣ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

1. ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਇਕ ਚੱਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਾਕੀਆਂ ਦੀਆਂ ਚੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਇਹ ਚੱਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਾਕੀ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵੱਚ ਰੱਖੋ। ਇਸ ਨਾਲ ਹੁਣ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜੋ ਬਣ ਗਈਆਂ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚ ਸਿਰਫ ਦੋ ਹੀ ਚੱਲ ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ।
3. ਹੁਣ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇਕ ਚੱਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਦੂਜੀ 'ਚ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਰੱਲ਼ੋ ।
4. ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਾਕੀ ਦੇ ਚੱਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਉਦਾਹਰਣ

${\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\\2x&&\;+\;&&4y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&8&\end{alignedat}}$

ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਚੋਂ x ਦਾ ਮੁੱਲ x = 5 + 2z − 3y ਨੂੰ ਦੂਜੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿਚ ਰੱਖਣ ਤੇ

${\begin{alignedat}{5}-4y&&\;+\;&&12z&&\;=\;&&-8&\\-2y&&\;+\;&&7z&&\;=\;&&-2&\end{alignedat}}$

ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ ਤੇ y = 2 + 3z ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇਸ ਨੂੰ ਦੂਸਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵੱਚ ਰੱਖਣ ਨਾਲ z = 2 ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

${\begin{alignedat}{7}x&&\;=\;&&5&&\;+\;&&2z&&\;-\;&&3y&\\y&&\;=\;&&2&&\;+\;&&3z&&&&&\\z&&\;=\;&&2&&&&&&&&&\end{alignedat}}$

ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ z = 2 ਭਰਨ ਨਾਲ y = 8 ਅਤੇ z = 2 ਅਤੇ y = 8 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਚ ਰੱਖਣ ਨਾਲ x = −15 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।(x, y, z) = (−15, 8, 2).