ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ, ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਦੇ ਇੱਕ ਸਬ-ਸੈੱਟ ਅੰਦਰ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਤਹਿ ਅੰਦਤ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸਤਹਿ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹਰੇਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੇ ਤੀਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਅਕਸਰ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਪੇਸ ਦੇ ਵਿੱਚ ਗੁਜ਼ਰਦੇ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਤਰਲ ਦੀ ਸਪੀਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਮਾਡਲ, ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਬਲ ਦੀ ਤਾਕਤ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਮਾਡਲ, ਜਿਵੇਂ ਚੁੰਬਕੀ ਜਾਂ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਬਲ, ਜੋ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਬਦਲਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਸੋਧੋਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ (ਬਹੁਪਰਤਾਂ) ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸੂਖਮ ਪੈਮਾਨਿਆਂ ਉੱਤੇ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਰਗੀਆਂ ਦਿਸਦੀਆਂ ਸਪੇਸਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਵਿਸ਼ਾਲ ਪੈਮਾਨਿਆਂ ਉੱਤੇ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਬਣਤਰ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਸੈਟਿੰਗ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ, ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਪ੍ਰਤਿ ਟੈਨਜੈਂਟ ਬੰਡਲ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ) ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ, ਟੈਂਸਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਦੇ ਸਬ-ਸੈੱਟਾਂ ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨਿਯਮ ਤੇ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨਾਲ ਇਸ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤਹਿ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨਾਂ
ਸੋਧੋਗਰੇਂਡੀਅੰਟ ਫੀਲਡ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇਸ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਉੱਤੇ ਓਪਰੇਸ਼ਨ
ਸੋਧੋਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਅਤੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੇ ਤੱਤ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਤੱਕ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਫੈਲਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਬਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਲਾਈਨ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਕਿਸੇ ਰਸਤੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਵਿਅਖਿਆ ਅਧੀਨ ਊਰਜਾ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਤੇ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੀ ਮੁਢਲੀ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਵੇਗ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ-ਕਰਤਾ ਹੋਣ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਭੌਤਿਕੀ ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਵਰਗੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵੱਲ ਲਿਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਜੋ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਘਣਫਲ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਕਰਲ ਵਰਗੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵੱਲ ਲਿਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਜੋ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ)।
n-ਅਯਾਮੀ ਤੇ n-ਟੁੱਪਲ
ਸੋਧੋਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ, n-ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ n-ਟੁਪਲ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੀ ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਤੱਕ ਲੰਘਣ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ ਨਿਯਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਦੇ ਖੁੱਲੇ ਸਬ-ਸੈੱਟਾਂ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਸਤਿਹਾਂ ਵਰਗੇ ਹੋਰ ਸਬ-ਸੈੱਟਾਂ ਉੱਤੇ ਵੀ ਗੱਲ ਸਮਝ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਸਤਹਿ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਤੀਰ (ਇੱਕ ਟੇਨਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।