ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਨ

ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਉਹ ਅਕ੍ਰਿਰਤੀ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਭੁਜਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨਾਲ ਘਿਰੀ ਹੋਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਭੁਜਾਵਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਕੋਣ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਣ 60° ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰੀ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਨ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ
ਕਿਸਮ	ਇਕਸਾਰ ਬਹੁਭੁਜ
ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਕੋਣਕ ਬਿੰਦੂ	3
ਸਚਲਾਫਲੀ ਚਿੰਨ	{3}
ਕੋਕਸ਼ੇਟਰ ਚਿੱਤਰ
ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ	D3
ਖੇਤਰਫਲ	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$
ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ (ਡਿਗਰੀ)	60°

ਗੁਣ

ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਨ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ (a=b=c), ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਣ ($\alpha =\beta =\gamma$) ਅਤੇ ਸਬੰਧਤ ਉਚਾਈਆ (h_a=h_b=h_c) ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣਦੀ ਭੁਜਾ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪਾਇਥਾਗੋਰਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਏ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ:

• ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
• ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਘੇਰਾ $p=3a\,\!$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
• ਪਰਿਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਥ ਵਿਆਸ $R={\frac {a}{\sqrt {3}}}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
• ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਥ ਵਿਆਸ ਦਾ ਸੂਤਰ $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$ ਜਾਂ $r={\frac {R}{2}}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
• ਲੰਭ ਦੀ ਉਚਾਈ $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਥ ਵਿਆਸ R ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅਸੀਂ

• ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ $\mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}$ ਨਾਲ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
• ਖੇਤਰਫਲ $A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$ ਨੂੰ ਜੇ ਸਾਨੂ ਲੰਬ h ਪਤਾ ਹੋਵੇ।
• ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ${\frac {h}{3}}$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਥੇ h ਇਸ ਦੀ ਕੁਲ ਉਚਾਈ ਹੈ।
• ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਥ ਵਿਆਸ $R={\frac {2h}{3}}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
• ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਥ ਵਿਆਸ $r={\frac {h}{3}}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈਆਂ, ਕੋਣ ਦੇ ਅਰਧਕ, ਲੰਬ ਦੁਭਾਜਕ ਅਤੇ ਮਾਧਿਕਾ ਇਕੋ ਹੀ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ।

ਗੁਣ

ਤਿਕੋਣ ABC ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ a, b, c, ਅਰਧ ਘੇਰਾ s, ਖੇਤਰਫਲ T, ਅੰਦਰੀ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ r_a, r_b, r_c (a, b, c ਤੇ ਸਪਰਸ ਰੇਖਾ ਕਰਮਵਾਰ), ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ R ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਿਆਸ r ਨੂੰ ਮੰਨ ਲਈਏ ਤਾਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਿਯਮ ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਭੂਜ ਲਈ ਸੱਚ ਹਨ।

• $\displaystyle a=b=c$
• $\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}$
• $\displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad {\text{(Blundon)}}$
• $\displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr$
• $\displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T$
• $\displaystyle s=3{\sqrt {3}}r$
• $\displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R$
• $\displaystyle A=B=C=60^{\circ }$
• $\displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}$
• $\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}$
• $\displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$
• $\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}$
• $\displaystyle R=2r\quad {\text{(Chapple-Euler)}}$
• $\displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
• $\displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}$
• $\displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}$
• ਜੇ ਕਿਸੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ, ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, ਆਰਥੋਸੈਂਟਰ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਦੋ ਸੰਪਾਤੀ ਹੋਣ ਤਾਂ ਤਿਕੋਣ ਸਮਬਾਹੂ ਹੋਵੇਗੀ।
• ਜੇ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P ਤੋਂ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਦੂਰੀ p, q, ਅਤੇ r ਅਤੇ ਕੋਣਕ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਦੂਰੀ x, y, ਅਤੇ z ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਹ ਤਿਕੋਣ ਸਮਬਾਹੂ ਹੋਵੇਗੀ।

$4(p^{2}+q^{2}+r^{2})\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

ਅਲੇਖੀ

ਕੰਪਾਲ ਅਤੇ ਸਕੇਲ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਬਣਾਉਂਣਾ

ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ

ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ ਜਿਥੇ ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ a ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

$A={\frac {1}{2}}ah.$......

ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਚਾਈ √3 ਅਤੇ sin60° ਦਾ ਮੁੱਲ √3/2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ ਕੋਣਿਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਲਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ ਸਾਹਣਮੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦਾ ਅੱਧ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ ਉਸ ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਦੋ ਸਮਲੰਬ ਤਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ਇਸਤਰ੍ਹਾ ਬਣੀਆਂ ਸਮਲੰਬ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦਾ ਕਰਨ ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਭੁਜਾ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਤਾਂ ਪਾਇਥਾਗੋਰਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਏ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ:

$\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}$

ਇਸਤਰ੍ਹਾ

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.$

h ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ {੧} ਵਿੱਚ ਭਰਨ ਤੇ।

$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.$

ਦੂਜੀ ਵਿਧੀ:

ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ a ਅਤੇ b, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਲਾ ਕੋਣ C ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

$A={\frac {1}{2}}ab\sin C.$

ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਹਰੇਕ ਕੋਣ 60° ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

$A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.$

sin60° ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$. ਤਦ:

$A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$

ਸਮਬਾਹੂ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।