ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਉੱਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਗੁਣਨਫਲ)〈.,.〉 ਨਾਲ ਇੱਕ ਸੈਲਫ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ (ਹਰਮਿਸ਼ਨ) ਓਪਰੇਟਰ ਅਜਿਹਾ ਓਪਰੇਟਰ (V ਤੋਂ A ਤੱਕ ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਦਾ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ/ਰੇਖਿਕ ਨਕਸ਼ਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਪਣਾ ਖੁਦ ਦਾ ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: $\langle Av,w\rangle =\langle v,Aw\rangle$ | ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ (ਸਮਕੋਣ ਉੱਤੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ) ਬੇਸਿਸ (ਅਧਾਰ) ਵਾਲੀ V ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ (ਅਯਾਮਾਂ) ਵਾਲੀ V ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਕਿ A ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (ਸਾਂਚਾ) ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਹੋਵੇ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਸਦੇ ਕੰਜੂਗੇਟ ਟਰਾਂਸਪੋਜ਼ A* ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ| ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੈਕਟਰਲ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ, V ਦਾ ਅਜਿਹਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ A ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਸ ਬੇਸਿਸ ਦੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਇੱਕ ਤਿਰਛਾ (ਡਾਇਅਗਨਲ) ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ (ਇੰਦਰਾਜ) ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ|

ਸੈਲਫ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ (ਐਨਲਸਿਸ) ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ| ਕੁਆਂਟ,ਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਮਹੱਤਤਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਡੀਰਾਕ-ਵੌਨ-ਨਿਊਮੈਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕੀ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਜਿਵੇਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨ, ਮੋਮੈਂਟਮ, ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨਾਂ ਨੂੰ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਸੈਲਫ ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨਾਲ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ| ਖਾਸ ਮਹੱਤਤਾ ਵਾਲਾ ਓਪਰੇਟਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਹੈ

$H\psi =V\psi -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ,$

ਜੋ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਪੁਟੈਂਸ਼ਨ ਫੀਲਡ V ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ m ਮਾਸ (ਪੁੰਜ) ਵਾਲੇ ਕਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ| ਡਿੱਫਰੈਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ ਸੁਤੰਤਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਹੈ|

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਫਿਜਿਕਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰੋਲ ਅਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਨਾਪਾਂ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਵਾਸਤਬਿਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕਦੇ ਕਦੇ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨਾਪਦੇ ਹਾਂ, ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੀਆਂ ਇੱਕ i (ਜੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਬਣਾ ਰਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ) ਰਾਹੀਂ ਰੱਖ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤੇ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਨਾਪ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਕਹਿ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਪਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸਿਰਫ ਦੋ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਪਰਾਗਤ ਤਰੀਕੇ ਵਾਲੇ ਬਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਨਿਰੀਖਣਯੋਗ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਉਹਨਾ ਦੇ ਆਪਣੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਬੇਸ਼ੱਕ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੋਣ ਬਾਰੇ ਕਹਿਣ ਦਾ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਛੇਤੀ ਅਸੀਂ ਇਹ ਖੋਜਣ ਵਾਲੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਜ਼ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ? ਕਿਸਮ ਜੋ ਕਿ ਵਾਸਤਵਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋ ਵੱਧ ਨਜ਼ਦੀਕ ਹੋਵੇ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਜ਼ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਆਪਣੇ ਹੀ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਕੰਜੂਗੇਟਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਫਰੈਂਚ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਹਰਮਾਈਟ ਦੇ ਨਾਮ ਨਾਲ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ;

M=M†

ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਡਾਇਗਨਲ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਓ ਅਤੇ ਫੇਰ ਇਸਦਾ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਕਰੋ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਓਹੀ ਰਹੇਗਾ ਜੋ ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸੀ। ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ (ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰੀਸਜ਼) ਕੁੱਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਰਾਵਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲੀ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਉਹਨਾ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਆਇਗਨ-ਵੈਲਿਊਜ਼ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰੀਏ ;

Mji = mij*

ਮੰਨ ਲਓ λ ਅਤੇ |λ〉 ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ L ਦੇ ਆਇਗਨ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਇੱਕ ਆਇਗਨ-ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਸਤਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਚਿੰਨਾ ਵਿੱਚ,

L|λ〉 = λ|λ〉

ਫੇਰ, ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਕੰਜੂਗੇਜ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਮੁਤਾਬਿਕ,

‹λ| L† = ‹λ|λ∗

ਫੇਰ ਵੀ, ਕਿਉਂਕਿ L ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ L† ਬਰਾਬਰ ਹੀ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ;

L|λ〉 = λ|λ〉 (1)

ਅਤੇ

‹λ|L = ‹λ|λ∗. (2)

ਸਮੀਕਰਨ 1 ਨੂੰ ‹λ| ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 2 ਨੂੰ |λ〉 ਰਾਹੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਇਹ ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ;

‹λ|L|λ〉 = λ ‹λ|λ〉

ਅਤੇ

‹λ|L|λ〉 = λ∗ ‹λ|λ〉

ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ, ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾ ਨੇ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ, λ ਜਰੂਰ ਹੀλ∗ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, λ (ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਕਿਸੇ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਆਇਗਨ-ਵੈਲੀਊ) ਜਰੂਰ ਹੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੋਣੀ ਜਰੂਰੀ ਹੈ। (ਕਿਉਂਕਿ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੀ ਆਪਣੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਬਰਾਬਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ)