ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ

ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵਿੱਚ, ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਕੁੱਝ ਮੌਕਿਆਂ ਤੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਮਹੱਤਤਾ ਤੇ ਜੋਰ ਦੇਣ ਲਈ ਖੇਤਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਸਪੇਸ (R3) ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਾਇਨਰੀ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕ) ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ × ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਤਮਨਿਰਭਰ ਵੈਕਟਰ a ਅਤੇ b ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ a × b, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਵੈਕਟਰ ਬਣੇਗਾ ਜੋ ਦੋਹਾਂ ਤੋਂ ਪਰਪੈਂਡੀਕਿਊਲਰ (ਸਮਕੋਣ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਕਰ ਕੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀ ਪਲੇਨ (ਸਤਹਿ) ਤੋਂ ਨੌਰਮਲ (90 ਡਿਗਰੀ ਤੇ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀਆਂ ਗਣਿਤ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨਿਅਰਿੰਗ, ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ (ਉਪਯੋਗ) ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਗੁਣਨਫਲ) ਨਹੀਂ ਸਮਝਣਾ ਚਾਹੀਦਾ।

ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਪ੍ਰਤਿ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਖੋਜਣਾ

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin \theta \ \mathbf {n}$

ਵੈਕਟਰਾਂ a (blue) ਅਤੇ b (red) ਦਰਮਿਆਨ ਕੋਣ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ a × b (vertical, in purple) ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਓਰਥੋਗਨਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ‖a‖‖b‖ ਉਸ ਵੇਲੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ

ਨਾਮ

ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਕਿਸੇ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਵਿੱਚ ਆਰਪਾਰ ਤਿਰਛੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਤੱਤਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਗੁਣਨਫਲ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

ਕਰੋਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣਾ

ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧਾਰਨਾ

ਮਿਆਰੀ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰ (i, j, k, ਅਤੇ e₁, e₂, e₃) ਅਤੇ a (a_x, a_y, a_z ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਵੀ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ a₁, a₂, a₃) ਵੀ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ

ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਧਾਰਨਾ

u ਅਤੇ v ਦਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਖੋਜਣ ਲਈ ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ determinant:

$\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}$

ਇਸ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਨੂੰ ਸਾਰੁੱਸ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਬਰਤੋ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਕੋਫੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋ ਨਾਲ ਵੀ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ ਨਿਯਮ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਲਦਾ ਹੈ

${\begin{aligned}\mathbf {u\times v} &=\\(u_{2}v_{3}\mathbf {i} +u_{3}v_{1}\mathbf {j} +u_{1}v_{2}\mathbf {k} )-(u_{3}v_{2}\mathbf {i} +u_{1}v_{3}\mathbf {j} +u_{2}v_{1}\mathbf {k} )\\&=\\(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}$

ਕੋਫੈਕਟਰ ਫੈਲਾਓ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਜਗਹ, ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਲਦਾ ਹੈ

$\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k}$

ਜੋ ਨਤੀਜਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਪੁਰਜੇ ਸਿੱਧੇ ਹੀ ਦੇ ਦਿੰਦਾ ਹੈ

ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥ

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ: ਤੀਹਰਾ ਗੁਣਨਫਲ

ਚਿੱਤਰ 1. ਇੱਕ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਪਰਲੈਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਚਿੱਤਰ 2. ਇੱਕ ਪਰਲੈਲੋਪਾਈਪਡ ਪਰੋਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ

ਅਲਜਬਰਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ

ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਿਸਥਾਰਵੰਡ

The two nonequivalent triple cross products of ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ a, b, c ਦੇ ਦੋ ਅਸਮਾਨ ਤੀਹਰੇ ਗੁਣਨਫਲ

ਡਿੱਫਰੈਂਟੀਏਸ਼ਨ

ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}$

ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਉਹ ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਜੋ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਸਥਿਰਾਂਕ t ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਬਦਲਵੇਂ ਤਰੀਕੇ

ਉਪਯੋਗ

ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ

ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ. ਲਾਲ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਔਰਥੋਗਨਲ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇਕਾਈ ਬਾਇਵੈਕਟਰ ਹਨ

ਸਰਵ-ਸਧਾਰੀਕਰਨਾਂ

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

• ਬਾਇਵੈਕਟਰ
• ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਪ੍ਰੋਡਕਟ – ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ
• ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
• ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰਾ
• ਮਲਟੀਪਲ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ –ਠਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
• ਸੂਡੋਵੈਕਟਰ
• × (ਚਿੰਨ)

ਨੋਟਸ

• Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c.
• E. A. Milne (1948) Vectorial Mechanics, Chapter 2: Vector Product, pp 11 –31, London: Methuen Publishing.
• Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c.
• Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c.

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cross product", ਗਣਿਤ ਦਾ ਵਿਸ਼ਵਕੋਸ਼, ਸਪਰਿੰਗਰ, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., ਪ੍ਰੋਡਕਟ.html "ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ", ਗਣਿਤ-ਸੰਸਾਰ.
• A quick geometrical derivation and interpretation of cross products
• C.A. Gonano and R.E. Zich (2014). Cross product in N Dimensions - the doublewedge product, Polytechnic University of Milan, Italy.
• Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 Archived 2015-09-05 at the Wayback Machine. (it is only possible in 7-D space)
• Real and Complex Products of Complex Numbers
• An interactive tutorial Archived 2006-04-24 at the Wayback Machine. created at Syracuse University – (requires java)
• W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).