ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਸਹਿਯੋਗੀ (ਐਸਿਸੀਏਟਿਵ) ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ K-ਅਲਜਬਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ, ਕੁਆਟ੍ਰੀਨੀਔਨਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਹਾਈਪਰਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਗਹਿਰੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੁਆਡਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮਾਂ ਅਤੇ ਔਰਥੋਗਨਲ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੈ। ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਉਪਯੋਗ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਗਣਿਤ, ਸਿਧਾਂਤਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਡਿਜੀਟਲ ਇਮੇਜ ਪ੍ਰੋਸੈੱਸਿੰਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦਾ ਨਾਮ ਅੰਗਰੇਜੀ ਰੇਖਾ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਵਿਲੀਅਮ ਕਿੰਗਡਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਜਾਣਿਆ ਪਛਾਣਿਆ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ, ਜਾਂ ਔਰਥੋਗਨਲ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ, ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੀ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਅਤੇ ਮੁਢਲੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਇੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਇੱਕ ਯੂਨਾਇਟਲ ਸਹਿਯੋਗੀ ਅਲਜਬਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਫੀਲਡ K ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਤੇ ਇਸੇ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ V ਵਿੱਚ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮ Q ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ(V, Q) ਸ਼ਰਤ ਪ੍ਰਤਿ V ਰਾਹੀਂ ਪੈਦਾ ਹੋਣਾ ਵਾਲਾ “ਸੁਤੰਰਤਮ” ਅਲਜਬਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

$v^{2}=Q(v)1\ {\text{ for all }}v\in V,$

ਜਿੱਥੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਉੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਅਲਜਬਰੇ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ 1 ਇਸਦੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪਛਾਣ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ “ਨੰਗੇ” K-ਅਲਜਬਰੇ ਨਾਲੋਂ ਜਿਆਦਾ ਬਣਤਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ: ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਜਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਅਧਿਕਾਰਾਂ ਵਾਲੀ ਸਬਸਪੇਸ V ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਸਬਸਪੇਸ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਸਿਰਫ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਕਿਸੇ K-ਅਲਜਬਰੇ ਤੋਂ ਹੀ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ।

ਜੇਕਰ ਗਰਾਉਂਡ ਫੀਲਡ K ਦਾ ਗੁਣ 2 ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸ ਮੁਢਲੀ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ,

$uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\ {\text{ for all }}u,v\in V,$

ਜਿੱਥੇ

$\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)$

ਇਹ ਪੋਲਰਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਪਛਾਣ ਰਾਹੀਂ Q ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਸਮਰੂਪ ਦੋਰੇਖਿਕ ਕਿਸਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਪਛਾਣ ਪ੍ਰਤਿ ਸੁਤੰਤਰਤਮ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਵਿਚਾਰ, ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਏ ਵਾਂਗ, ਇੱਕ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਗੁਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਰਾਹੀਂ ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 2 ਵਿੱਚ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਅਤੇ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮਾਂ (ਵਰਗਾਕਾਰ, ਵਰਗ ਅਕਾਰ) ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਜੇਕਰ char(K) = 2 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਕਿ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਅਕਾਰ ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਹਰੇਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਅਕਾਰ ਇੱਕ ਔਰਥੋਗਨਲ ਬੇਸਿਸ ਨੂੰ ਮੰਨਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਆਰਟੀਕਲ ਵਿਚਲੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕਥਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸ਼ਰਤ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ ਕਿ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 2 ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਅਤੇ ਝੂਠੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਇਹ ਸ਼ਰਤ ਮੁਕਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇ।

ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ

ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰੇ ਨਾਲ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ Q=0 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ(V, Q) ਸਿਰਫ ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰਾ Λ(V) ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗੈਰ-ਸਿਫਰ Q ਲਈ Λ(V) ਅਤੇ Cℓ(V, Q) ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਰੇਖਿਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਵੀ ਗਰਾਉਂਡ ਫੀਲਡ K ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 2 ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਵੱਖਰੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 2 ਵਾਲੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਅਜੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕੁਦਰਤੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ)। ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਸਬਸਪੇਸ ਰਲ ਕੇ ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਅਮੀਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ Q ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਣ ਵਾਲੀ ਵਾਧੂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਦੇਖੋ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੁੱਪ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਵੇਇਲ ਅਲਜਬਰਾ ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਵੇਇਲ ਅਲਜਬਰਾ ਅਤੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਇੱਕ *-ਅਲਜਬਰਾ ਬਣਤਰ ਮੰਨਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸੁੱਪਰਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਇਵਨ ਅਤੇ ਔਡ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇਕੱਠੇ ਮਿਲਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ CCR ਅਤੇ CAR ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।

ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਅਤੇ ਬਣਤਰ

ਮੰਨ ਲਓ ਫੀਲਡ K ਉੱਤੇ V ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ Q: V → K, ਇਸ V ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮ ਹੋਵੇ। ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਜਿਆਦਾਤਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਫੀਲਡ K ਜਾਂ ਤਾਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ R ਦੀ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ C ਦੀ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ(V, Q), ਸਾਰੇ v ∈ V ਲਈ i(v)² = Q(v)1 ਤੇ ਖਰਾ ਉਤਰਦਾ ਹੋਏ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਮੈਪ i : V → Cℓ(V, Q) ਸਮੇਤ K ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਯੂਨਾਇਟਲ ਸਹਿਯੋਗੀ ਅਲਜਬਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: K ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਹਿਯੋਗੀ ਅਲਜਬਰੇ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ (ਲੀਨੀਅਰ) ਮੈਪ j : V → A ਦੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ ਕਿ

j(v)² = Q(v)1_A for all v ∈ V

(ਜਿੱਥੇ 1A, A ਦੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ), ਇੱਕ ਨਿਰਾਲਾ (ਯੁਨੀਕ) ਅਲਜਬਰਾ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ f : Cℓ(V, Q) → A ਇੰਝ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਚਿੱਤਰ ਕ੍ਰਮ ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦਾ ਹੈ (ਯਾਨਿ ਕਿ f ∘ i = j):

ਕਿਸੇ ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕ) ਅਕਾਰ <•,•> ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, Q ਦੀ ਜਗਹ (ਜਿੱਥੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 2 ਨਾ ਹੋਵੇ ਉਸ ਵਿੱਚ), j ਉੱਤੇ ਜਰੂਰਤ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ,

$j(v)j(w)+j(w)j(v)=2\langle v,w\rangle 1_{A}\quad {\mbox{ for all }}v,w\in V\ .$

ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਏ ਵਾਂਗ ਇੱਕ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਮੌਜੂਦ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਅਲਜਬਰੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ V ਹੋਵੇ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਟੈਂਸਰ ਅਲਜਬਰਾ T(V) ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਇੱਕ ਢੁਕਵਾਂ ਕੋਸ਼ੰਟ (quotient, ਭਾਗਫਲ/ਗੁਣਕ) ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ ਮੁਢਲੀ ਪਛਾਣ ਤੇ ਜੋਰ ਦਿਓ। ਸਾਡੇ ਵਾਲੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ T(V) ਵਿੱਚ ਦੋ ਪਾਸਿਆਂ ਵਾਲਾ ਆਦਰਸ਼ I_Q ਲੈਣਾ ਚਾਹਾਂਗੇ ਜੋ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਰਾਹੀਂ ਰਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੋਵੇ;

$v\otimes v-Q(v)1$ ਸਾਰੇ $v\in V$ ਲਈ

ਅਤੇ Cℓ(V, Q) ਨੂੰ ਕੋਸ਼ੰਟ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ

Cℓ(V, Q) = T(V)/I_Q.

ਇਸ ਕੋਸ਼ੰਟ ਰਾਹੀਂ ਵਿਰਾਸਤ ਵਿੱਚ ਮਿਲੇ ਰਿੰਗ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਗੁਣਨਫਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਫੇਰ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ Cℓ(V, Q), V ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਈ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ Cℓ ਇੱਕ ਨਿਰਾਲੀ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਤੱਕ ਨਿਰਾਲਾ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ Cℓ(V, Q) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਣਤਰ ਤੋਂ ਇਹ ਵੀ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ i ਇੰਜੈਕਟਿਵ (ਦਖਲਅੰਦਾਜੀ ਕਰਨ ਵਾਲੀ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਇਸ i ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ V ਨੂੰ Cℓ(V, Q) ਦੀ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਸਬਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ Cℓ(V, Q) ਦੀ ਬਣਤਰ ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਫੰਕਟੋਰੀਅਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। Cℓ, ਨਾਮਕ ਚੀਜ਼ ਨੂੰ ਸਹਿਯੋਗੀ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਪ੍ਰਤਿ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮਾਂ (ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਕਿਸਮਾਂ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਿਕ ਮੈਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ) ਵਾਲੀਆਂ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਦੀ ਕੈਟੇਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫੰਕਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਸਨ। ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ (ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਕਿਸਮ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ) ਸਹੋਯੋਗੀ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਅਲਜਬਰਾ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਾਂ ਤੱਕ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।