ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੋਵੇਰੀਅੰਸ ਅਤੇ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਸ

ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੋਵੇਰੀਅੰਸ ਤੇ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਸ ਬਹੁਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਅਤੇ ਟੈਂਸਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਜਾਂ ਭੌਤਿਕੀ ਇਕਾਈ ਦਾ ਮਾਤਰਾ ਵਿਵਰਣ, ਬੇਸਿਸ ਫੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨਾਲ ਨਾਲ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਬੇਸਿਸ ਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਧੁਰਿਆਂ (ਐਕਸਿਸ) ਉੱਤੇ ਸਕੇਲ ਦੀ ਕਿਸੇ ਤਬਦੀਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੌਰਾਨ ਯੂਨਿਟਾਂ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ, ਮੀਟਰਾਂ ਤੋਂ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਦੀ ਸਕੇਲ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਕਰਨ ਨਾਲ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਕਸਿਸ ਦੀ ਸਕੇਲ ਨੂੰ 100 ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਦੇਣ ਤੇ), ਨਾਪੀ ਗਈ ਵਿਲੌਸਟੀ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ (ਹਿੱਸਿਆਂ) ਦੀ ਮਾਤਰਾ 100 ਗੁਣਾ ਵਧ ਜਾਵੇਗੀ। ਸਕੇਲ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਵਾਲੇ ਇਸ ਵਰਤਾਓ ਪ੍ਰਤਿ ਜਿਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਵਰਤਾਓ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਮਿਲਣ ਵਾਲੀ ਸਕੇਲ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਤੋਂ ਉਲਟ ਚਲਦਾ ਹੈ: ਉਹ ਕੌਂਟਰਾਵੈਰੀਏਂਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਕਸਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਡਿਸਟੈਂਸ ਵਾਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਡਿਸਟੈਂਸ (ਲੰਬਾਈ) ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਯੂਨਿਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਵਿਲੌਸਟੀ।

A vector v (red) represented by

• tangent basis vectors (yellow, left: e₁, e₂, e₃) to the coordinate curves (black),
• dual basis, covector basis, or cobasis (blue, right: e¹, e², e³), normal vectors to coordinate surfaces (grey),

in 3d general curvilinear coordinates (q¹, q², q³), a tuple of numbers to define point in a position space. Note the basis and cobasis do not coincide unless the basis is orthogonal.

ਇਸ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਡਿਊਲ ਵੈਕਟਰਾਂ (ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕੋ-ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ) ਦੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਡਿਸਟੈਂਸ ਤੋਂ ਉਲਟ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਡਿਸਟੈਂਸ ਦੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਯੂਨਿਟ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀਆਂ ਉਲਟੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਡਿਊਲ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਗਰੇਡੀਅੰਟ ਹੈ, ਜਿਸਦੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਸਥਾਨਿਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, ਜਾਂ ਡਿਸਟੈਂਸ-1 (ਜਾਂ 1/ਡਿਸਟੈਂਸ) ਵਾਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਹੜੇ ਡਿਊਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਓਸੇ ਅੰਦਾਜ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਕਸਿਸ ਦੀ ਸਕੇਲਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਉਹ ਕੋਵੇਰੀਐਂਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਕੋਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ, ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਤਬਦੀਲੀ ਅਧੀਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ ਵੀ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਨਾਪਾਂ (ਮੇਜ਼ਰਮੈਂਟ) ਦੇ ਸੀਰੀਜ਼ ਜਾਂ ਨਾਪ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲਿਸਟ (ਜਾਂ ਟੁਪਲ, ਜਿਸਨੂੰ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਵਿਵਸਥ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ;

$(v_{1},v_{2},v_{3}).\,$

ਲਿਸਟ ਵਿਚਲੇ ਨੰਬਰ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਦੀ ਪਸੰਦ (ਚੋਆਇਸ) ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ, ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ ਕਿਸੇ ਦਰਸ਼ਕ (ਔਬਜ਼ਰਵਰ) ਦੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਪੁਜੀਸ਼ਨ (ਵੈਕਟਰ) ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਠੋਸ ਰਾਡਾਂ, ਜਾਂ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਤੋਂ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ v1, v2, ਅਤੇ v3 ਨੂੰ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜਰੂਰ ਹੀ ਇਹ ਵਿਵਰਣ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਵਿੱਚ ਦਿਸੇਗਾ। ਯਾਨਿ ਕਿ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ ਸੋਧੇ ਜਾਣਗੇ ਜਦੋਂ ਇੱਕ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਤੋਂ ਦੂਜੇ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਲੰਘਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ’’ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਹੇਠ ਉਵੇਂ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ’’ ਕਰਦੇ ਹਨ (ਅਤੇ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਕਸਿਸਾਂ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਤੋਂ ਉਲਟੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ), ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਡਿੱਲੇਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਹੇਠਾਂ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ; ਸਗੋਂ, ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਥਾਨਿਕ ਐਕਸਿਸਾਂ ਵਿਚਲੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਕੈਂਸਲ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਬਿਲਕੁਲ ਉਸੇ ਤਰਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਕਸਿਸਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇਗਾ, ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਬਿਲਕੁਲ ਉਲਟੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਘੁੰਮ ਜਾਏਗੀ। ਇਸੇਤਰਾਂ, ਜੇਕਰ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਕਸਿਸਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ, ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ, ਸੰਤੁਲਨ ਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟ ਜਾਣਗੇ। ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਜੇਕਰ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਕਿਸੇ ਉਲਟਾਓਣਯੋਗ (ਇਨਵਰਟਿਬਲ) ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ M ਰਾਹੀਂ ਤਬਦੀਲੀ ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਗੁਜ਼ਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵੈਕਟਰ x ਹੁਣ x′ = Mx ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ v ਨੂੰ ਜਰੂਰ ਹੀ ਇਸੇ ਤਰਾਂ v′ = Mv ਰਾਹੀਂ ਤਬਦੀਲ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਜਰੂਰਤ ਇੱਕ ਕੌੰਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਅਰਥ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਟਰਿਪਲ (ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ) ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਜੇਕਰ v ਵੈਕਟਰ ਵਿਲੌਸਟੀ ਦੇ x, y, ਅਤੇ z ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜ ਕੇ ਬਣਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ v ਇੱਕ ਕੌਂਟਰਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਹੋਵੇਗਾ: ਜੇਕਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚਿਆ, ਘੁਮਾਇਆ, ਜਾਂ ਟਵਿਸਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਲੌਸਟੀ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਇਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ, ਵਿਲੌਸਟੀ, ਅਤੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਸੇ ਆਇਤਾਕਾਰ (ਰੈਕਟੈਂਗੁਲਰ) ਬੌਕਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉੱਚਾਈ, ਕਿਸੇ ਸੰਖੇਪ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਤਿੰਨੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰਚ ਸਕਦੀ ਹੋਵੇ, ਪਰ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤਬਦੀਲੀ ਕਰਨ ਤੇਬੌਕਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ, ਅਤੇ ਉੱਚਾਈ ਨਹੀਂ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ: ਸਗੋਂ ਇਹ ਸਕੇਲਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਇਸ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਇੱਕ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਤੋਂ ਉਲਟ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਕਸਿਸਾਂ ਵਾਂਗ ਬਰਾਬਰ ਬਦਲਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ, ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗਰੇਡੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਕਸਿਸ ਵਾਂਗ ਤਬਦੀਲ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{1}}}{\widehat {x}}^{1}+{\frac {\partial f}{\partial x^{2}}}{\widehat {x}}^{2}+{\frac {\partial f}{\partial x^{3}}}{\widehat {x}}^{3}$

ਜਦੋਂ ਐਕਸਿਸਾਂ ਦੀ ਸਿਰਫ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਹੀ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਅਤੇ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਇੱਕੋ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹਾ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋ੍ਂ ਹੋਰ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਫਰਕ ਸਪਸ਼ਟ ਨਜ਼ਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਕੋਵੇਰੀਅੰਸ ਅਤੇ ਕੌਂਟਰਵੇਰੀਅੰਸ ਦੀ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰ ਇਸ ਗੱਲ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ, ਬੇਸਿਸ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ (ਪੈੱਸਿਵ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮੇਸ਼ਨ) ਹੇਠਾਂ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਸਕੇਲਰਾਂ ਦੀ ਫੀਲਡ S ਉੱਤੇ V ਇੱਕ n ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਅਤੇf = (X₁,...,X_n) ਅਤੇ f' = (Y₁,...,Y_n) ਦਾ ਹਰੇਕ ਮੇਲ V ਦਾ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਹੋਵੇ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਜੇਕਰ ਬੇਸਿਸ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ f ਤੋਂ f′ ਤੱਕ ਹੁੰਦੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਬਦੀਲੀ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਇਨਰਟੀਬਲ n×n ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਲਈ ਜਿਸਦੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ $a_{j}^{i}$ ਹੋਣ;

$\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{i}a_{1}^{i}X_{i},\dots ,\sum _{i}a_{n}^{i}X_{i}\right)=\mathbf {f} A$

( 1)

ਇੱਥੇ f’ ਦਾ ਹਰੇਕ ਬੇਸਿਸ, ਵੈਕਟਰਾਂ f ਬੇਸਿਸ ਦੇ Xi ਦੀ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨ (ਮੇਲ) ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ

$Y_{j}=\sum _{i}a_{j}^{i}X_{i}.$

ਸੰਖੇਪ ਇਤਿਹਾਸ

ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਅਤੇ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ 1853 ਵਿੱਚ ਜੇ.ਜੇ.ਸਿਲਵੈਸਟਰ ਰਾਹੀਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ ਤਾਂ ਜੋ ਅਲਜਬਰਿਕ ਇਨਵੇਰੀਅੰਟ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ, ਇੱਕਠੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਅਸਥਰਿਾਂਕਾਂ (ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ) ਵਿੱਚ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ, ਟੈਂਸਰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਹਨ ਜੋ ਕੋਵੇਰੀਅੰਸ ਅਤੇ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਸ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਬਹੁ-ਰੇਖਿਕ (ਮਲਟੀਲੀਨੀਅਰ) ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਅਜੋਕੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਦਿਹੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ, “ਕੈਟੇਗਰੀ ਥਿਊਰੀ” ਵਿੱਚ “ਸਬੰਧਿਤ ਚਿੰਨਾਂ” ਦੀ ਇੱਕ ਖਾਸ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।

ਤਬਦੀਲੀ

ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਕੋਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ, ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਤਬਦੀਲੀ ਅਧੀਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ ਵੀ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

• ਬੇਸਿਸ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਣ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ (ਜਿਵੇਂ ਕੋਈ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ ਜਾਂ ਵਿਲੌਸਟੀ) ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਕੰਪੋਨੈੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਬੇਸਿਸ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀ (ਉਲਟ) ਤਬਦੀਲੀ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਯਾਨਿ ਕਿ, ਜਿਹੜਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਤਬਦੀਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਤੋਂ ਜਰੂਰ ਉਲਟਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਜਿਵੇਂ ਡਿਊਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਤੋਂ ਉਲਟ) ਕੌਂਟਰਵੇਰੀਅੰਟ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਦਰਸ਼ਕ ਦੇ ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਕਿਸੇ ਚੀਜ਼ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ, ਜਾਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦਾ ਟਾਈਮ ਪ੍ਰਤਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਿਲੌਸਟੀ, ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ, ਅਤੇ ਜਰਕ) ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੌ ਧਾਰਨਾ ਵਿੱਚ, ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਉੱਪਰਲੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ (ਅੱਪਰ) ਸੂਚਕ ਅੰਕਾਂ (ਇੰਡੀਸੀਜ਼) ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

• $\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}.$

• ਕਿਸੇ ਡਿਊਲ ਵੈਕਟਰ (ਜਿਸ ਨੂੰ ਕੋਵੈਕਟਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਨੂੰ ਬੇਸਿਸ-ਅਜ਼ਾਦੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਆਈ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਨਾਲ ਜਰੂਰ ਹੀ “ਕੋ-ਵੇਰੀ” (ਸਹਿਯੋਗੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਦਲਨਾ) ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਯਾਨਿ ਕਿ, ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਓ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਓਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਡਿਊਲ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਜਿਵੇਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਤੋਂ ਉਲਟ), ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਓਦੋਂ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗਰੇਡੀਅੰਟ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਲੋਅਰ ਇੰਡੀਸੀਜ਼ (ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਸੂਚਕ ਅੰਕਾਂ) ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ;

• $\mathbf {v} =v_{i}\mathbf {e} ^{i}.$

ਅਕਸਰ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਸਪੇਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਬੇਸਿਸ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਕਿਸੇ ਵੀ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਨਾਲ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਪਸੰਦ ਜੁੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤੇ ਕੋਵੇਰੀਅੰਸ ਅਤੇ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਸ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ ਕਿ ਇੱਕ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਤੋਂ ਦੂਜੇ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਲੰਘਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿਵਰਣ ਕਿਵੇਂ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।