ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ: ਰੀਵਿਜ਼ਨਾਂ ਵਿਚ ਫ਼ਰਕ
ਸਮੱਗਰੀ ਮਿਟਾਈ ਸਮੱਗਰੀ ਜੋੜੀ
Charan Gill (ਗੱਲ-ਬਾਤ | ਯੋਗਦਾਨ) "Gamma function" ਸਫ਼ੇ ਨੂੰ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ |
Charan Gill (ਗੱਲ-ਬਾਤ | ਯੋਗਦਾਨ) "Gamma function" ਸਫ਼ੇ ਨੂੰ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ |
||
ਲਾਈਨ 3:
: <math>\Gamma(n) = (n-1)!</math>
ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਸਾਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡਕੇ ਸਾਰੀਆਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ । ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹਿੱਸੇ ਵਾਲੀਆਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਅਢੁਕਵੇਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
: <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx</math>
ਇਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ ਗੈਰ-ਸਾਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ (ਜਿੱਥੇ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਰਲ ਧਰੁਵ ਹਨ) ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੀਆਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਮੈਰੋਮੋਰਫਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦੀਆਂ ਕੋਈ ਸਿਫਰਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟ ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ 1/Γ(z) ਇਕ ਹੋਲੋਮੋੋਰਫਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੇਲਿਨ ਰੂਪਾਂਤਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ:
: <math> \Gamma(z) = \{ \mathcal M e^{-x} \} (z)</math>
ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਭਿੰਨ ਸੰਭਾਵਨਾ-ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਗ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਤੇ ਅੰਕੜਾ-ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਤਰਕੀਬੀ-ਹਿਸਾਬ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੈ।
== ਪ੍ਰੇਰਣਾ ==
[[ਤਸਵੀਰ:Factorial_Interpolation.svg|thumb|250x250px|The gamma function interpolates the factorial function to non-integer values.]]
ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਇੰਟਰਪੋਲਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਵੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
: "ਇਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਲੱਭੋ ਜਿਹੜੀ x ਲਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਤੇ y = (x - 1)! ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x, y) ਨੂੰ ਜੋੜਦੀ ਹੈ।"
A plot of the first few factorials makes clear that such a curve can be drawn, but it would be preferable to have a formula that precisely describes the curve, in which the number of operations does not depend on the size of {{ਹਿਸਾਬ|''x''}}. The simple formula for the factorial, {{ਹਿਸਾਬ|''x''! {{=}} 1 × 2 × … × ''x''}}, cannot be used directly for fractional values of {{ਹਿਸਾਬ|''x''}} since it is only valid when {{ਹਿਸਾਬ|''x''}} is a [[ਕੁਦਰਤੀ ਅੰਕ|natural number]] (''i.e.'', a positive integer). There are, relatively speaking, no such simple solutions for factorials; no finite combination of sums, products, powers, exponential functions, or [[ਲਘੂਗਣਕ|logarithms]] will suffice to express {{ਹਿਸਾਬ|''x''!}}; but it is possible to find a general formula for factorials using tools such as integrals and limits from [[ਕੈਲਕੂਲਸ|calculus]]. A good solution to this is the gamma function.
== Notes ==
{{Reflist|30em}}
| |||