ਵਕਰਤਾ: ਰੀਵਿਜ਼ਨਾਂ ਵਿਚ ਫ਼ਰਕ

ਇਸ ਅਰਟੀਕਲ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ, ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਤੋਂ, ਕਰਵੇਚਰ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਦਾ ਹੈ : ਕਿਸੇ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਜੜੀ ਕਿਸੇ ਵਕਰ (ਕਰਵ) ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਯੂਨਿਕਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਸਤਹਿ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ । ਹੋਰ ਪੜਣ ਲ਼ਈ ਹੇਠਾਂ ਲਿੰਕ ਦੇਖੋ ।

 

 

ਮੰਨ ਲਓ C ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਕਰ ਹੈ (ਸ਼ੁੱਧ ਤਕਨੀਕੀ ਮਾਨਤਾਵਾਂ ਥੱਲੇ ਲਿਖੀਆਂ ਹਨ) । ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ C ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਓਸ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਨਾਪ ਹੈ ਕਿ ਗਵਾਂਢੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵੱਲ ਜਾਂਦੀ ਹੋਈ ਇਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (ਟੇਨਜੈਂਟ ਲਾਈਨ) ਕਿੰਨੀ ਕੁ ਸੈਂਸਟਿਵ (ਸਵੇੰਦਨਸ਼ੀਲ) ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਬਰਾਬਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਸ਼ੁੱਧ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

 

 

[[Image:Osculating circle.svg|float|right|250px]]

 

: <math> \kappa = \frac{1}{R}.</math>

 

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ C ਇੱਕ ਦੋ ਵਾਰ “ਨਿਰੰਤਰ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਪੈਦਾ ਹੋ ਰਹੀ ਪਲੇਨ ਕਰਵ” ਹੋਵੇ, ਜਿਸਦਾ ਇੱਥੇ ਅਰਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ γ(t) = (x(t), y(t)) ਦੇ ਇੱਕ ਜੋੜੇ ਰਾਹੀਂ C ਦੀ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ, x ਅਤੇ y ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੋਵੇਂ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਡੋਮੇਨ ਰਾਹੀਂ ਇਹ ਸ਼ਰਤ ਪੂਰੀ ਹੋਵੇ;

 

:<math>\|\gamma'\|^2 = x'(t)^2 + y'(t)^2 \not= 0</math>

ਮਨਮਰਜੀ ਦੇ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਵਿੱਚ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਿਵਰਣ ਇਸਤਰਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

 

 

 

ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਕਰਵ ਲਈ ਚੁਣੇ ਗਏ ਖਾਸ ਮਾਪਦੰਡਕਰਣ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਯੂਨਿਟ ਚੱਕਰ ਨੂੰ (cos(θ),sin(θ)) (ਕਾਉਂਟਰਕਲੌਕਵਾਇਜ਼, k > 0 ਨਾਲ), ਜਾਂ (cos(−θ),sin(−θ)) (ਕਲੌਕਵਾਇਜ਼, k < 0 ਨਾਲ) ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ (ਮਾਪਦੰਡਕ੍ਰਿਤ) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਲੀਨ ਹੋ ਰਹੀ ਕਰਵ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਰੱਖ ਰਖਾਓ ਦੀ ਚੋਣ ਤੇ ਹੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪੱਧਰੇਪਣ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਲੀਨ ਹੋ ਰਹੀ ਕਰਵ ਦੋ ਸੰਭਵ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।

[[File:Torus-Knot uebereinander animated.gif|thumb|upright|ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਐਨੀਮੇਸ਼ਨ <math>\mathbf{T}'(s)</math>]]

 

 

:<math>\mathbf{T}(s) = \gamma'(s)</math>

 

:<math>\kappa(s) = \|\mathbf{T}'(s)\| = \|\gamma''(s)\|.</math>

 

 

:<math>\kappa(P) = \lim_{Q\to P}\sqrt{\frac{24\left(s(P,Q)-d(P,Q)\right)}{s(P,Q)^3}}</math>

 

ਜਿੱਥੇ ਲਿਮਿਟ ਇਹ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ C ਉੱਤੇ Q ਬਿੰਦੂ P ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡੈਨੋਮੀਟਰ (ਹਰ) ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਾਲ ਬਰਾਬਰੀ ਕਰਕੇ ''d''(''P'',''Q'')³ ਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਲਈ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਹੈ। ਇਸਤੋਂ ਅੱਗੇ, P ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਸੇ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਨਾਲ ਲਿਮਿਟ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ, ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕਦੇ ਕਦੇ P ਉੱਤੇ ਸਿੰਗੁਲਰਟੀ ਇਕੱਠੀ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ, ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ ਸਪਰਸ਼ ਚੱਕਰ ਲਈ ਸਾਬਤ ਕਰਕੇ ਬਣਦਾ ਹੈ।

 

ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਅਜਿਹੀ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਥਿਰ ਕਰਵੇਚਰ ਹੋਵੇ । ਅਕਸਰ ਅਜਿਹਾ ਸਪੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਪੇਸਾਂ ਅੰਦਰ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਅਰਥ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ CAT(k) ਸਪੇਸਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।