ਵਕਰਤਾ: ਰੀਵਿਜ਼ਨਾਂ ਵਿਚ ਫ਼ਰਕ
ਸਮੱਗਰੀ ਮਿਟਾਈ ਸਮੱਗਰੀ ਜੋੜੀ
Charan Gill (ਗੱਲ-ਬਾਤ | ਯੋਗਦਾਨ) |
ਵਿਕੀਪੀਡੀਅਾ ਨਿਯਮ ਅਨੁਸਾਤ ਸਫ਼ਾ ਤਰਤੀਬ-ਬੱਧ ਕੀਤਾ ਤੇ ਨਵੇਂ ਲਿੰਕ ਦਿੱਤੇ। |
||
ਲਾਈਨ 1:
[[File:Cell-Shape-Dynamics-From-Waves-to-Migration-pcbi.1002392.s007.ogv|thumb|A migrating, wild-type ''[[Dictyostelium discoideum]]'' ਸੈੱਲ ਜਿਸਦੀ ਹੱਦ ਕਰਵੇਚਰ ਨਾਲ ਰੰਗਦਾਰ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਹੈ. Scale bar: 5 µm; duration: 22 seconds.]]
'''ਵਕਰਤਾ''' [[ਗਣਿਤ]] ਵਿੱਚ, ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਛੁਪੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਸੰਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹੈ। ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਕਰਵੇਚਰ ਉਹ ਮਾਤਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਰਾਹੀਂ ਕੋਈ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਸਤੂ ਫਲੈਟ (ਪੱਧਰੀ), ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਿੱਧੀ ਹੋਣ ਤੋਂ ਝੁਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਸੰਦਰਭ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵੀ ਇਸ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਐਕਸਟਰਿੰਸਿਕ (ਬਾਹਰੀ) ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਇੰਟਰਿੰਸਿਕ (ਅੰਦਰੂਨੀ) ਕਰਵੇਚਰ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਫਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਾਹਰੀ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸਪੇਸ (ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ) ਅੰਦਰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੜੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਓਸ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਛੂਹਣ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ (ਵਕਰਤਾ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ) ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੰਟ੍ਰਿੰਸਿਕ ਕਰਵੇਚਰ (ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਕਰਤਾ) ਕਿਸੇ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (ਬਹੁਪਰਤ) ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਆਰਟੀਕਲ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਪਹਿਲੇ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ਐਕਸਟ੍ਰਿੰਸਿਕ ਕਰਵੇਚਰ (ਬਾਹਰੀ ਵਕਰਤਾ) ਦੀ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਕਰਵੇਚਰ ਇਸਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਉਲਟ (ਰੈਸੀਪਰੋਕਲ) ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ (ਸਰਕਲ) ਜਿਆਦਾ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਝੁਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਾਰਣ ਜਿਆਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਸਮੂਥ ਕਰਵ (ਸੁਚਾਰੂ ਵਕਰ) ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ, ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ (ਛੂਹ ਰਹੇ) ਇਸਦੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਮਾਤਰਾ (ਕੁਆਂਟਿਟੀ) ਹੈ, ਪਰ ਝੁਕਣ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਤਿੱਖੇਪਣ ਨੂੰ ਦਿਮਾਗ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਕੇ ਇੱਕ ਕਰਵੇਚਰ ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਿਆਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਚੀਜ਼ਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਸਤਹਿਾਂ ਜਾਂ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਰਵਡ n-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਾਂ) ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰ ਅਲਜਬਰੇ ਤੋਂ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਚੀਜ਼ਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਆਮ ਰੀਮੈਨ ਕਰਵੇਚਰ ਟੈਂਸਰ।
==ਪਲੇਨ ਕਰਵਾਂ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ (ਪੱਧਰੀਆਂ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਵਕਰਤਾ)==
ਮੰਨ ਲਓ C ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਕਰ ਹੈ (ਸ਼ੁੱਧ ਤਕਨੀਕੀ ਮਾਨਤਾਵਾਂ ਥੱਲੇ ਲਿਖੀਆਂ ਹਨ)। ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ C ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਓਸ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਨਾਪ ਹੈ ਕਿ ਗਵਾਂਢੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵੱਲ ਜਾਂਦੀ ਹੋਈ ਇਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (ਟੇਨਜੈਂਟ ਲਾਈਨ) ਕਿੰਨੀ ਕੁ ਸੈਂਸਟਿਵ (ਸਵੇੰਦਨਸ਼ੀਲ) ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਬਰਾਬਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਸ਼ੁੱਧ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਲਾਈਨ 31 ⟶ 27:
ਕਰਵਚੇਰ ਪ੍ਰਤਿ ਇਹ ਦੋਹੇ ਪਹੁੰਚਾਂ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਨਿਰੀਖਣ ਰਾਹੀਂ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਪਹਿਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਚੱਕਰ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਆਰਕ ਦੇ ਕਿਸੇ ਐਂਗਲ ਦੇ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸੇਤਰਾਂ, ਕਿਸੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਦਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕਰਵਵੇਚਰ dθ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ dθ ਉਹ ਸੂਖਮ ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਰਵ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸੂਖਮ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਉੱਤੇ ਕਰਵ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸੂਖਮ ਹਿੱਸੇ ds ਦਰਮਿਆਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ dθ/ds। ਜੇਕਰ ਸੂਖਮ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਅਸਾਨ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਹੱਦ ਵਿੱਚ, ਅੰਤਰ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ dθ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਦੂਜੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀ ਐਕਸਪਰੈਸ਼ਨ (ਦਰਸਾਓ) ਵੱਲ ਲੈ ਕੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
===ਸ਼ੁੱਧ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ===
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ C ਇੱਕ ਦੋ ਵਾਰ “ਨਿਰੰਤਰ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਪੈਦਾ ਹੋ ਰਹੀ ਪਲੇਨ ਕਰਵ” ਹੋਵੇ, ਜਿਸਦਾ ਇੱਥੇ ਅਰਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ γ(t) = (x(t), y(t)) ਦੇ ਇੱਕ ਜੋੜੇ ਰਾਹੀਂ C ਦੀ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ, x ਅਤੇ y ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੋਵੇਂ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਡੋਮੇਨ ਰਾਹੀਂ ਇਹ ਸ਼ਰਤ ਪੂਰੀ ਹੋਵੇ;
ਲਾਈਨ 51 ⟶ 45:
ਮਨਮਰਜੀ ਦੇ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਵਿੱਚ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਿਵਰਣ ਇਸਤਰਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
===ਸਾਇਨਡ ਕਰਵੇਚਰ ===
ਸਾਇਨਡ ਕਰਵੇਚਰ k ਓਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਯੂਨਿਟ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਐਂਟੀਕਲੌਕਵਾਇਜ਼ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ k > 0 ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਲੌਕਵਾਇਜ਼ (ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ) ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ k < 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਗਰਾਫ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਚਿੰਨ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਚਿੰਨ ਬਰਾਬਰ ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਕਰਵ ਲਈ ਚੁਣੇ ਗਏ ਖਾਸ ਮਾਪਦੰਡਕਰਣ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਯੂਨਿਟ ਚੱਕਰ ਨੂੰ (cos(θ),sin(θ)) (ਕਾਉਂਟਰਕਲੌਕਵਾਇਜ਼, k > 0 ਨਾਲ), ਜਾਂ (cos(−θ),sin(−θ)) (ਕਲੌਕਵਾਇਜ਼, k < 0 ਨਾਲ) ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ (ਮਾਪਦੰਡਕ੍ਰਿਤ) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਲੀਨ ਹੋ ਰਹੀ ਕਰਵ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਰੱਖ ਰਖਾਓ ਦੀ ਚੋਣ ਤੇ ਹੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪੱਧਰੇਪਣ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਲੀਨ ਹੋ ਰਹੀ ਕਰਵ ਦੋ ਸੰਭਵ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।
=== ਸਥਾਨਿਕ ਦਰਸਾਓ ===
ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ γ(t) = (x(t),y(t)), ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਪੱਧਰੀ ਕਰਵ ਲਈ, ਕਰਵੇਚਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਲਾਈਨ 73 ⟶ 63:
ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸੁਤੰਤਰ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ ਇਸਤਰਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;
:<math>k = \frac{\det(\gamma',\gamma'')}{\|\gamma'\|^3},\ \ \ \kappa = \frac{|\det(\gamma',\gamma'')|}{\|\gamma'\|^3}.</math>
===ਕਿਸੇ ਗਰਾਫ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ===
<math>y=f(x)</math> ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਾਹਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕਿਸੇ ਪਲੇਨ ਕਰਵ ਦੇ ਜਰਾ ਘੱਟ ਆਮ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ''x'' ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਤਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਲਈ ਪਰਾਈਮਜ਼ ਵਰਤ ਕੇ ਹੁਣ , ਕਰਵੇਚਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
ਲਾਈਨ 97 ⟶ 85:
[[File:Torus-Knot uebereinander animated.gif|thumb|upright|ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਐਨੀਮੇਸ਼ਨ <math>\mathbf{T}'(s)</math>]]
ਜਿਵੇਂ ਦੋ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਵਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ (ਅਤੇ ਜਿਆਦਾ) ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਨਿਯਮਤ (ਰੈਗੁਲਰ) ਸਪੇਸ ਕਰਵ C ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ, ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਯੂਨਿਟ ਸਪੀਡ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਪਾਰਟੀਕਲ ਦੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਤਰਾਂ ਜੇਕਰ γ(s), ਕਰਵ C ਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰੀਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਕਰਲੰਬਾਈ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ
:<math>\mathbf{T}(s) = \gamma'(s)</math>
ਲਾਈਨ 115 ⟶ 103:
===ਲੋਕਲ ਐਕਸਪਰੈਸ਼ਨਜ਼===
ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ γ(t) = (x(t),y(t),z(t)) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਮਾਪਦੰਡ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਪੇਸ ਕਰਵ ਲਈ, ਕਰਵੇਚਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (''x''(''t''),''y''(''t''),''z''(''t''))}},
the curvature is
ਲਾਈਨ 137 ⟶ 124:
ਜਿੱਥੇ ਲਿਮਿਟ ਇਹ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ C ਉੱਤੇ Q ਬਿੰਦੂ P ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡੈਨੋਮੀਟਰ (ਹਰ) ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਾਲ ਬਰਾਬਰੀ ਕਰਕੇ ''d''(''P'',''Q'')<sup>3</sup> ਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਲਈ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਹੈ। ਇਸਤੋਂ ਅੱਗੇ, P ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਸੇ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਨਾਲ ਲਿਮਿਟ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ, ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕਦੇ ਕਦੇ P ਉੱਤੇ ਸਿੰਗੁਲਰਟੀ ਇਕੱਠੀ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ, ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ ਸਪਰਸ਼ ਚੱਕਰ ਲਈ ਸਾਬਤ ਕਰਕੇ ਬਣਦਾ ਹੈ।
=== ਉੱਚ-ਅਯਾਮ: ਸਪੇਸ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ===
ਮੁਢਲੇ ਤਰਕ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨਾਲ, ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਜਿਆਦਾ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰਵ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਕਰਵੇਚਰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰ ਜਗਹ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਾ ਕੇਵਲ ਕਿਸੇ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸਪੇਸ ਦੇ ਪ੍ਰਤਿ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਕਿਸੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਅਪਣੇ ਅੰਦਰ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਰਵਡ ਸਪੇਸ ਕਿਸੇ ਉੱਚ-ਅਯਾਮੀ ਐੰਬੀਅੰਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਜੜੀ ਹੋ ਵੀ ਸਕਦੀ ਹੈ ਤੇ ਨਹੀਂ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ; ਜੇਕਰ ਨਾ ਜੜੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਸਿਰਫ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਲਾਈਨ 145 ⟶ 130:
ਭਾਵੇਂ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜੀ ਦੀ ਕਰਵਡ ਸਪੇਸ ਵਿਵਰਣ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਸਪੇਸ ਦੀ ਕਰਵੇਚਰ ਜੋ ਸਥਾਨਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਆਈਸੋਟ੍ਰੌਪਿਕ ਅਤੇ ਹੋਮੋਜੀਨੀਸਅਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਗੌਸ਼ੀਅਨ ਕਰਵੇਚਰ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਤਾਕਤਵਰ ਸ਼ਰਤਾਂ ਹਨ, ਪਰ ਇਹ ਜਿਮੇਵਾਰ ਭੌਤਿਕੀ ਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਹਨ (ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸਾਰੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵੱਖਰੇ ਪਛਾਣੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ)। ਇੱਕ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਕਰਵੇਚਰ, ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਸਕੁਏਅਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਸਫੀਅਰ (ਗੋਲਾ) ਜਾਂ ਹਾਈਪਰਸਫੀਅਰ ਹੈ। ਨੈਗੈਟਿਵ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਜੀਓਮੈਟਰੀ ਹੈ। 0 ਕਰਵੇਚਰ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸ ਜਾਂ ਸਪੇਸ-ਟਾਈਮ ਨੂੰ ਫਲੈਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ-ਟਾਈਮ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਦੋਹੇ ਸੈਟਿੰਗਾਂ ਵਿੱਚ ਭਾਵੇਂ ਫਲੈਟ ਰੇਖਾ ਗਣਿਤਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵੀ ਹਨ। ਇੱਕ ਟੌਰਸ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਲਿੰਡਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਫਲੈਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਪਣੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ ਲਈ ਹੋਰ ਟੌਪੌਲੌਜੀਆਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹਨ। ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਬਾਰੇ ਵੀ ਪੜੋ ।
=== ਸਮਾਨੀਕਰਨ (ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ)===
ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ A → N → B → A ਤੋਂ ਸਮਾਂਤਰ ਢੋਣ (ਪੈਰਲਲ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ) ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਵੈਕਟਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੈਕਟਰ ਤੱਕ ਵਾਪਸੀ ਦਾ ਇੰਝ ਫੇਲ ਹੋਣਾ ਸਤਿਹ ਦੀ ਹੋਲੋਨੋਮੀ ਰਾਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ▼
▲ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ A → N → B → A ਤੋਂ ਸਮਾਂਤਰ ਢੋਣ (ਪੈਰਲਲ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ) ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਵੈਕਟਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੈਕਟਰ ਤੱਕ ਵਾਪਸੀ ਦਾ ਇੰਝ ਫੇਲ ਹੋਣਾ ਸਤਿਹ ਦੀ ਹੋਲੋਨੋਮੀ ਰਾਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਕਲਪ ਬਹੁਤ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਸੰਦਰਭਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਪਹਿਲੂਆਂ ਤੇ ਜੋਰ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਇਹ ਥੱਲੇ ਦੇ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੋਵੇ।
ਲਾਈਨ 160 ⟶ 143:
ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਅਜਿਹੀ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਥਿਰ ਕਰਵੇਚਰ ਹੋਵੇ। ਅਕਸਰ ਅਜਿਹਾ ਸਪੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਪੇਸਾਂ ਅੰਦਰ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਅਰਥ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ CAT(k) ਸਪੇਸਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
==ਹਵਾਲਾ==
[[
| |||