ਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ
ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਉਹ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗੁਣਨਫਲ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਸੇਮੀਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੇ ਤੌਰ ਦੇ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਸੋਧੋਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਦੋ ਗਰੁੱਪਾਂ (G, ∗) ਅਤੇ (H, •) ਲਈ, (G, ∗) ਤੋਂ (H, •) ਤੱਕ ਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ h: G → H ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ G ਵਿਚਲੇ ਸਾਰੇ u ਅਤੇ v ਲਈ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ;
ਜਿੱਥੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਗਰੁੱਪ ਓਪਰੇਸ਼ਨ G ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ H ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਤੋਂ, G ਦੇ ਪਛਾਣ ਐਲੀਮੈਂਟ eG ਤੋਂ H ਦੇ ਪਛਾਣ ਤੱਤ eH ਤੱਕ h ਨਕਸ਼ਿਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇਸ ਸਮਝ ਮੁਤਾਬਿਕ ਉਲਟਾਂ ਤੋਂ ਉਲਟਾਂ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾ ਵੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ;
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ h “ਗਰੁੱਪ ਬਣਤਰ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ” ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ h(x) ਲਈ ਪੁਰਾਣੇ ਚਿੰਨ੍ਹ xh ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਬੇਸ਼ੱਕ ਇਹ ਇੱਕ ਸੂਚਕਾਂਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਗਲਤਫਹਿਮੀ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਨਵਾਂ ਰੀਵਾਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਮੰਗ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲਿਖਣ ਦਾ ਚੱਲ ਪਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਰੈਕਟਾਂ ਮਿਟਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ h(x) ਸਰਲਤਾ ਨਾਲ x h ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਗਰੁੱਪ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਆਟੋਮੈਟਾ ਇੱਕ ਭੂਮਿਕਾ ਅਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਇਸ ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਦੇ ਨਾਲ ਜਿਆਦਾ ਅਨੁਕੂਲ ਹੈ ਕਿ ਆਟੋਮੈਟਾ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵੱਲ ਨੂੰ ਸ਼ਬਦ ਪੜਦਾ ਹੈ।
ਗਣਿਤ ਦੇ ਉਹਨਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ ਗਰੁੱਪਾਂ ਨੂੰ ਵਾਧੂ ਬਣਤਰਾਂ ਨਾਲ ਭਰਪੂਰ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਕਦੇ ਕਦੇ ਨਾ ਕੇਵਲ ਸਿਰਫ ਗਰੁੱਪ ਬਣਤਰ ਪ੍ਰਤਿ ਮਤਲਬ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਵਾਧੂ ਬਣਤਰ ਪ੍ਰਤਿ ਵੀ ਮਤਲਬ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਲਈ ਅਕਸਰ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।