ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ

ਇਹ ਲੇਖ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਤੋਂ ਇੱਕ ਧਾਰਨਾ ਬਾਰੇ ਹੈ। ਅਲਜਬ੍ਰਿਕ ਧਾਰਨਾ ਲਈ, ਦੇਖੋ ਜਾਰਿਸਕੀ-ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਸਪੇਸ।

ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਸਤਹਿ ਨਾਲ ਕਨਫਿਊਜ਼ ਨਾ ਹੋਵੋ

ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ (ਸੁਚਾਰੂ) ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਜਾਂ (ਸੁਚਾਰੂ) ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਸਪੇਸ (M,g), ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ $p$ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸ $T_{p}M$ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ $g_{p}$ ਨਾਲ ਯੁਕਤ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੁਚਾਰੂ ਮੈਨੀਫੋਲਡ M ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਬਹੁਤ ਸੁਚਾੇੂ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰਾਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ X ਅਤੇ Y, M ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ $p\mapsto g_{p}(X(p),Y(p))$ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ $g_{p}$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕ (ਟੈਂਸਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਜਰਮਨ ਗਣਿਤਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਰਨਹਾਰਡ ਰੀਮਾੱਨ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਨਾਮਕ ਵਿਸ਼ਾ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕ (ਟੈਂਸਰ), ਐਂਗਲਾਂ, ਵਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ, ਖੇਤਰਫਲ ਜਾਂ ਘਣਫਲ, ਕਰਵੇਚਰ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਵਰਗੀਆਂ ਵਿਭਿੰਨ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਾ ਸੰਭਵ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਸੰਖੇਪ ਸਾਰਾਂਸ਼

ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰੀਸਿਜ਼

ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

• ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਰੇਖਾਗਣਿਤ
• ਫੰਸਲਰ ਮੈਨੀਫੋਲਡ
• ਸਬ-ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ
• ਸੂਡੋ-ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ
• ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ
• ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ
• ਸਪੇਸ (ਗਣਿਤ)
• ਤਰੰਗ ਨਕਸ਼ਾ ਸਮੀਕਰਨ

ਹਵਾਲੇ

• Jost, Jürgen (2008), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (5th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77340-5
• do Carmo, Manfredo (1992), Riemannian geometry, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3490-2 [1]

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

• L.A. Sidorov (2001), "Riemannian metric", in Hazewinkel, Michiel (ed.), ਗਣਿਤ ਦਾ ਵਿਸ਼ਵਕੋਸ਼, ਸਪਰਿੰਗਰ, ISBN 978-1-55608-010-4