3 + 2 = 5, ਸੇਬਾਂ ਨਾਲ, ਇਹ ਕਿਤਾਬਾਂ ਵਿਚਲੀ ਇੱਕ ਆਮ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।[1]
ਜੋੜ

ਜੋੜ ਜਾਂ ਜਮ੍ਹਾਂ (ਜਿਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ "+" ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਅੰਕਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਚਾਰ ਆਮ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ; ਦੂਜੀਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਘਟਾਅ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਤਕਸੀਮ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਦੋ ਕੁਦਰਤੀ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਉਹਨਾਂ ਦੋਹਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ ਜਾਂ ਰਲਾ ਕੇ ਬਣੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਜਿੰਨਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ, ਨਾਲ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ 3 ਸੇਬਾਂ ਅਤੇ 2 ਸੇਬਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਕੁੱਲ 5 ਸੇਬ ਬਣ ਗਏ ਹਨ। ਇਹ ਪੜਚੋਲ ਗਣਿਤ ਦੀ ਇਬਾਰਤ "3 + 2 = 5" ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ "3 ਜਮ੍ਹਾਂ 2 ਬਰਾਬਰ 5 ਹਨ।

ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗਿਣਨ ਤੋਂ ਬਗੈਰ, ਜੋੜ ਨੂੰ ਹੋਰ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਅੰਕ ਅਤੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ। ਇਹ ਅੰਕਗਣਿਤ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜਿਹੜੀ ਕਿ ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖ਼ਾ ਹੈ। ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ, ਜੋੜ ਨੂੰ ਅਭੌਤਿਕ ਚੀਜ਼ਾਂ ਉੱਪਰ ਵੀ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਆਦਿ।

ਜੋੜ ਦੇ ਕੁਝ ਖ਼ਾਸ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੰਮੂਟੇਟਿਵ ਅਤੇ ਸਹਿਯੋਗੀ (Commutative) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕੋਈ ਮਾਇਨੇ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਉੱਪਰ ਕੋਈ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਆਪਾਂ ਹਰੇਕ ਵਾਰ 1 ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਇਹ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; 0 ਦੇ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਬਦਲਾਅ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ।

ਜੋੜ ਕਰਨਾ ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਸੌਖਾ ਕੰਮ ਹੈ। ਛੋਟੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਰਿੜ੍ਹਨ ਵਾਲੇ ਬੱਚੇ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਹਿਸਾਬ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਸੌਖੀ ਕਿਰਿਆ 1 + 1, 5 ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਬੱਚੇ ਅਤੇ ਹੋਰ ਕੁਝ ਖ਼ਾਸ ਜੀਵਾਂ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਵੀ ਕਰ ਲੈਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੁੱਢਲੀ ਸਿੱਖਿਆ ਵਿੱਚ ਬੱਚਿਆਂ ਨੂੰ ਡੈਸੀਮਲ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਨਾ ਸਿਖਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਅੰਕਾਂ ਤੋ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਆਧਾਰ ਉੱਪਰ ਵਧੇਰੇ ਔਖੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਸਿਖਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯੰਤਰਿਕ ਸਹਾਇਤਾ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਸਮਿਆਂ ਵਿਚਲੇ ਅਬੈਕਸ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਅੱਜਕੱਲ੍ਹ ਦੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ।

ਸੰਕੇਤ ਅਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਕ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀਸੋਧੋ

 
ਜੋੜ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ

ਜੋੜ ਨੂੰ ਦੋ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਵਿਚਾਲੇ "+" ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪੂਰੀ ਕਿਰਿਆ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ '=' ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨਾ ਦੇ ਲਈ,

  ("ਇੱਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਾ ਜੋੜ ਦੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ")
  ("ਦੋ ਅਤੇ ਦੋ ਦਾ ਜੋੜ 4 ਦੇ ਬਰਾਬਰ")
  ("ਇੱਕ ਅਤੇ ਦੋ ਦਾ ਜੋੜ 3 ਦੇ ਬਰਾਬਰ")
  (ਵੇਖੋ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ (ਹਿਸਾਬ))
  (ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਵੇਖੋ "ਗੁਣਾ")
 
ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਜੋੜ, ਜਿਸਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਕੁਝ ਅਜਿਹੀਆਂ ਹਾਲਤਾਂ ਵੀ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਬਗੈਰ ਕਿਸੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਵੀ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

  • ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਜੋ ਕਿ ਭਿੰਨ ਅੰਕ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਦੋਹਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨਾਲ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਅੰਕ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।[2] ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ,
          3½ = 3 + ½ = 3.5.
    ਪਰ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਨਾਲ ਕਈ ਵਾਰ ਗਲਤੀ ਵੀ ਲੱਗ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਅੰਕਾਂ ਜਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਵੀ ਕਈ ਵਾਰ ਬਿਨ੍ਹਾਂ ਕਿਸੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।[3]

ਸਬੰਧਿਤ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਜੋੜਫਲ ਨਾਲ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਹੜਾ ਕਿ ਦੁਹਰਾਅ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ,

 

ਜੋੜ ਸਾਰਨੀਸੋਧੋ

ਬੱਚਿਆਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ 1 ਤੋਂ 10 ਤੱਕ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ ਯਾਦ ਕਰਵਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਮਝ ਕੇ ਬੱਚਾ ਹੋਰ ਵੀ ਕੋਈ ਜੋੜ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
1 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 4
1 + 4 = 5
1 + 5 = 6
1 + 6 = 7
1 + 7 = 8
1 + 8 = 9
1 + 9 = 10
1 + 10 = 11
2 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
2 + 0 = 2
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
2 + 3 = 5
2 + 4 = 6
2 + 5 = 7
2 + 6 = 8
2 + 7 = 9
2 + 8 = 10
2 + 9 = 11
2 + 10 = 12
3 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
3 + 0 = 3
3 + 1 = 4
3 + 2 = 5
3 + 3 = 6
3 + 4 = 7
3 + 5 = 8
3 + 6 = 9
3 + 7 = 10
3 + 8 = 11
3 + 9 = 12
3 + 10 = 13
4 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
4 + 0 = 4
4 + 1 = 5
4 + 2 = 6
4 + 3 = 7
4 + 4 = 8
4 + 5 = 9
4 + 6 = 10
4 + 7 = 11
4 + 8 = 12
4 + 9 = 13
4 + 10 = 14
5 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
5 + 0 = 5
5 + 1 = 6
5 + 2 = 7
5 + 3 = 8
5 + 4 = 9
5 + 5 = 10
5 + 6 = 11
5 + 7 = 12
5 + 8 = 13
5 + 9 = 14
5 + 10 = 15
6 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
6 + 0 = 6
6 + 1 = 7
6 + 2 = 8
6 + 3 = 9
6 + 4 = 10
6 + 5 = 11
6 + 6 = 12
6 + 7 = 13
6 + 8 = 14
6 + 9 = 15
6 + 10 = 16
7 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
7 + 0 = 7
7 + 1 = 8
7 + 2 = 9
7 + 3 = 10
7 + 4 = 11
7 + 5 = 12
7 + 6 = 13
7 + 7 = 14
7 + 8 = 15
7 + 9 = 16
7 + 10 = 17
8 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
8 + 0 = 8
8 + 1 = 9
8 + 2 = 10
8 + 3 = 11
8 + 4 = 12
8 + 5 = 13
8 + 6 = 14
8 + 7 = 15
8 + 8 = 16
8 + 9 = 17
8 + 10 = 18
9 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
9 + 0 = 9
9 + 1 = 10
9 + 2 = 11
9 + 3 = 12
9 + 4 = 13
9 + 5 = 14
9 + 6 = 15
9 + 7 = 16
9 + 8 = 17
9 + 9 = 18
9 + 10 = 19
10 ਦੀ ਜੋੜ ਸਾਰਨੀ
10 + 0 = 10
10 + 1 = 11
10 + 2 = 12
10 + 3 = 13
10 + 4 = 14
10 + 5 = 15
10 + 6 = 16
10 + 7 = 17
10 + 8 = 18
10 + 9 = 19
10 + 10 = 20


ਹਵਾਲੇਸੋਧੋ

  1. From Enderton (p. 138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
  2. Devine et al. p. 263
  3. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. p. 161