ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ

p-ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਗਲਤਵਹਿਮੀ ਨਾ ਪਾਲੀ ਜਾਵੇ।

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ (ਜਿਸਨੂੰ 4-ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਚਾਰ ਪੁਰਜਿਆਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਚੀਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਅਧੀਨ ਇੱਕ ਖਾਸ ਤਰੀਕੇ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਚਾਰ-ਵੈਕਟਰ ਕਿਸੇ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਤੱਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਮਿਆਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, (½,½) ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ (ਵਿਚਾਰਿਆ) ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਿਸੇ ਯੁਕਿਲਡਨ ਵੈਕਟਰ ਤੋਂ ਇਸ ਗੱਲ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਵੇਂ ਇਸਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਹੜੀਆਂ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਇਸ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਸਥਾਨਿਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਬੂਸਟਾਂ (ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਰਾਹੀਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਇਨ੍ਰਸ਼ੀਅਲ ਰੈਫ੍ਰੈਂਸ ਫ੍ਰੇਮ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ) ਨੂੰ ਸਾਮਿਲ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਮਾਡਲਬੱਧ ਕੀਤੇ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਦਰ ਪੁਜੀਸ਼ਨ x^μ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਕਿਸੇ ਕਣ ਦਾ ਫੋਰ-ਮੋਮੈਂਟਮ p^μ, ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ x ਉੱਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੋਰ-ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ A^μ(x), ਅਤੇ ਡੀਰਾਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮੱਲੀ ਸਬ-ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ Λ ਨਾਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨ ਦਾ ਕਿਸੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੌਂਟ੍ਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ X (ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਂਗ) ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ, ਜੋ ਐਂਟ੍ਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਇਨ੍ਰਸ਼ੀਅਲ ਫ੍ਰੇਮ ਪ੍ਰਤਿ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ,

$X^{\prime }=\Lambda X,$

(ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨਫਲ) ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ,

ਪ੍ਰਾਈਮ ਕੀਤੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੇ ਪੁਰਜੇ ਨਵੀਆਂ ਫ੍ਰੇਮਾਂ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ, ਜੋ ਕੌਂਟ੍ਰਾ-ਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ, ਸਬੰਧਤ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ x_μ, p_μ ਅਤੇ A_μ(x) ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਇਸ ਨਿਯਮ ਮੁਤਾਬਕ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ,

$X^{\prime }={(\Lambda ^{-1})}^{\mathrm {T} }X,$

ਜਿੱਥੇ;

^T ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਟ੍ਰਾਂਸਪੋਜ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਨਿਯਮ ਓਪਰੋਕਤ ਨਿਯਮ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਡਿਊਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਵਾਸਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦਾ ਡਿਊਲ (ਦੋਹਰਾਪਣ) ਮੂਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਪ੍ਰਤਿ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਹੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਵਰਤਾਓ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਚਾਰ-ਪੁਰਜਿਆਂ ਵਾਲ਼ੀ ਚੀਜ਼, ਜੋ ਇੱਕ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਸਤੇ, ਦੇਖੋ ਬਾਇਸਪਿੱਨੌਰ। ਇਹ ਵੀ ਇਸੇਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੀ (ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ) ਹੈ, ਫਰਕ ਸਿਰਫ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਅਧੀਨ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨ ਨਿਯਮ ਮਿਆਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਥਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਨਿਯਮ ਨੂੰ X' = Π(Λ)X ਪੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ Λ ਦੀ ਥਾਂ Π(Λ) ਇੱਕ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹੀ ਟਿੱਪਣੀਆਂ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨਾਂ ਅਧੀਨ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਘੱਟ ਜਾਂ ਜਿਆਦਾ ਪੁਰਜਿਆਂ ਵਾਲੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਵੀ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਕੇਲਰ, ਸਪਿੱਨੌਰ, ਟੈਂਸਰ, ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ-ਟੈਂਸਰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ।

ਇਹ ਲੇਖ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸੰਕਲਪ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਤੱਕ ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਬਿਆਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੁੱਝ ਨਤਿਜੇ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸੋਧ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਹੋਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀਆਂ

ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ

ਵਿਭਿੰਨ ਤੁੱਲ ਚਿੰਨ-ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਫੇਰ ਤੋਂ, ਕਿਸੇ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ A ਨੂੰ ਪੌਲੀ ਮੇਟਰੀਸੀਜ਼ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3})\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}$

ਜਾਂ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

ਅਤੇ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ, ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਕਾਲਮ ਜਾਂ ਕਤਾਰ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਥਾਂ, ਕਿਸੇ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੇਟ੍ਰਿਕਸ (ਮੇਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਟ੍ਰਾਂਸਪੋਜ਼ ਇਸਨੂੰ ਬਗੈਰ-ਬਦਲੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੇਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੌਡੂਲਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ:

${\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\&=(A^{0}+A^{3})(A^{0}-A^{3})-(A^{1}-iA^{2})(A^{1}+iA^{2})\\&=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}\end{aligned}}$

ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪੌਲੀ ਮੇਟਰਿਸਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤਣ ਦਾ ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।

ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ

ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, ਗਾਮਾ ਮੇਟਰਿਸ ਵੀ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਰਚ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਡੀਰਾਕ ਮੇਟ੍ਰਿਕਸ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤੋੰ ਵੱਧ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਜੋ ਮੁੱਖ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਜਿਆਦਾ ਵੇਰਵੇ ਨਾਲ ਹੈ।

ਫਾਇਨਮਨ ਸਲੈਸ਼ ਚਿੰਨ, ਗਾਮਾ ਮੇਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨਾਲ ਸੁੰਗੇੜੇ ਕਿਸੇ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ A ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪਤਾ ਹੈ।

$\mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}$

ਗਾਮਾ ਮੇਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨਾਲ ਸੁੰਗੇੜਿਆ ਫੋਰ-ਮੋਮੈਂਟਮ, ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਡਿਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਹੋਰ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ,

$\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}$

ਵਰਗੀ ਨਿਯਮਾਵਲੀ ਦਿਸਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ E ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਕੰਪੋਨੈਂਟ (p_x, p_y, p_z), ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

• ਰਿਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ ਮਕੈਨਿਕਸ
• ਪੈਰਾਵੈਕਟਰ
• ਵੇਵ ਵੈਕਟਰ
• ਨੰਬਰ-ਫਲੱਕਸ ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਵਾਸਤੇ ਡਸਟ (ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ
• ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ ਗਣਿਤ ਨਾਲ ਬੁਨਿਆਦੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ
• ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ

ਹਵਾਲੇ

• Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5