ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ

ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ, ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ, ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ 3-ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ $\mathbb {R} ^{3}.$ ਵਿੱਚ ਮੁਢਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼ਬਦ "ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ" ਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਬਹੁ-ਬਦਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੇ ਵਿਸ਼ਾਲ ਵਿਸ਼ੇ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ-ਅਰਥ ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੀ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮਲਟੀਪਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਲ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀ ਅਤੇ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜਨਿਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਭਾਰੀ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡਾਂ, ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਫੀਲਡਾਂ ਅਤੇ ਫਲੂਇਡ ਫਲੋ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਵਿੱਚ।
19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਅੰਤ ਨਜ਼ਦੀਕ, ਜੇ. ਵਿਲੀਅਰਡ ਗਿਬਜ਼ ਅਤੇ ਓਲਿਵਰ ਹੈਵੀਸਾਈਡ ਦੁਆਰਾ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਤੋਂ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਅਤੇ ਜਿਆਦਾਤਰ ਚਿੰਨ-ਧਾਰਨਾ ਅਤੇ ਨਿਯਮਾਵਲੀ, ਗਿਬਜ਼ ਅਤੇ ਐਡਵਿਨ ਬਿਡਵਲ ਵਿਲਸਨ ਦੁਆਰਾ ਉਹਨਾਂ ਦੀ 1901 ਦੀ ਪੁਸਤਕ ਵੈਕਟਰ ਐਨਲਸਿਸ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਆਰਪਾਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਪ੍ਰੰਪਰਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਸਰਵ-ਸਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਜਦੋਂਕਿ ਹੇਠਾਂ ਚਰਚਿਰ ਕੀਤੇ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਰੇਖਾਗਣਿਤਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਬਦਲਵੀਂ ਪਹੁੰਚ ਜਨਰਲਾਇਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਵਰਤਦੀ ਹੈ।

ਮੁਢਲੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ

ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ

ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ, ਕਿਸੇ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਸਕੇਲਰ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਕੋਈ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਫੇਰ, ਕੋਈ ਭੌਤਕੀ ਮਾਤਰਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਸਤ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿਸਥਾਰ-ਵੰਡ, ਕਿਸੇ ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੈੱਸ਼ਰ ਵਿਸਥਾਰ-ਵੰਡ, ਅਤੇ ਹਿਗਜ਼ ਫੀਲਡ ਵਰਗੀਆਂ 0-ਸਪਿੱਨ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡਾਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਇਹ ਫੀਲਡਾਂ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਵਿਸ਼ਾ ਹਨ।

ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ

ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ, ਸਪੇਸ^[1] ਦੇ ਕਿਸੇ ਉੱਪ-ਸਮੂਹ ਅੰਦਰ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਸਤਹਿ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ, ਸਤਹਿ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੇ ਤੀਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਝੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਅਕਸਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਤਰਲ ਦੀ ਸਪੀਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਬਣਾਉਣ ਵਾਸਤੇ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਾਂ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਬਦਲਦੇ ਚੁੰਬਕੀ ਜਾਂ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਬਲ ਵਰਗੇ ਕਿਸੇ ਫੋਰਸ ਦੀ ਤਾਕਤ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਸੂਡੋ-ਵੈਕਟਰ

ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਅਡਵਾਂਸ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਸੂਡੋ-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਅਤੇ ਸੂਡੋ-ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਅੰਤਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਅੰਤਰ ਕਰਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਏਸ ਦੇ ਕਿ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ-ਉਲਟਾਊ ਨਕਸ਼ੇ ਅਧੀਨ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਲੈਂਦੇ ਹਨ: ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੀ ਕਰਲ, ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਪਰਵਰਤਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੀ ਕਰਲ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਲਗਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਅੰਤਰ ਨੂੰ, ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਏ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਸਪਸ਼ਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਵੈਕਟਰ ਅਲਜਬਰਾ

ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਅੰਦਰ ਅਲਜਬਰਿਕ (ਗੈਰ-ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ) ਕਾਰਜ (ਉਪਰੇਸ਼ਨ) ਵੈਕਟਰ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਾਸਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਤੇ ਸੰਸਾਰਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੁਢਲੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਕਾਰਜ ਇਸ ਤਰਾਂ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

ਉਪਰੇਸ਼ਨ	ਚਿੰਨ-ਧਾਰਨਾ	ਵੇਰਵਾ
ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ।
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ	$a\mathbf {v}$	ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ।
ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ।
ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	$\mathbb {R} ^{3}$ ਅੰਦਰ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, ਇੱਕ (ਸੂਡੋ)-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ।

ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਦੋ ਟ੍ਰਿਪਲ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵੀ ਆਮ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ:

ਉਪਰੇਸ਼ਨ	ਚਿੰਨ-ਧਾਰਨਾ	ਵੇਰਵਾ
ਸਕੇਲਰ ਟ੍ਰਿਪਲ ਪ੍ਰੋਡਕਟ	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ।
ਵੈਕਟਰ ਟ੍ਰਿਪਲ ਪ੍ਰੋਡਕਟ	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ।

ਓਪਰੇਟਰ ਅਤੇ ਥਿਊਰਮਾਂ

ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ

ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ, ਸਕੇਲਰ ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਿਭਿੰਨ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਖਾਸਤੌਰ ਤੇ ਡੈਲ ਓਪਰੇਟਰ ( $\nabla$ ) ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸ ਨੂੰ "ਨਾਬਲਾ" ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨੇ ਮੁਢਲੇ ਵੈਕਟਰ ਓਪਰੇਟਰ ਇਹ ਹਨ:

ਉਪਰੇਸ਼ਨ	ਚਿੰਨ-ਧਾਰਨਾ	ਵੇਰਵਾ	ਚਿੰਨ-ਧਾਰਨਾਤਮਿਕ ਤੁੱਲਤਾ	ਡੋਮੇਨ/ਰੇਂਜ
ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਅੰਦਰ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਪਦਾ ਹੈ।	ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ	ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾ-ਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਡਾਇਵਰਜੰਸ	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	ਕਿਸੇ ਸੋਮੇ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਨੂੰ ਨਾਪਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਅੰਦਰਲੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਸਿੰਕ ਨੂੰ ਨਾਪਦਾ ਹੈ।	ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ	ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਨਕਸ਼ਾ-ਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕਰਲ	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	$\mathbb {R} ^{3}$ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਤਰਜੀਹ ਨੂੰ ਨਾਪਦਾ ਹੈ।	ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ	ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ (ਸੂਡੋ)ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਨਕਸ਼ਾ-ਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ।
$f$ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $F$ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਜੈਕਬੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਹੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਲਾਭਕਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ, ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਮਲਟੀ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੋਣ, ਜਿਵੇਂ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੌਰਾਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਵਾਂਗ।

ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਥਿਊਰਮਾਂ

ਤਿੰਨੇ ਮੁਢਲੇ ਵੈਕਟਰ ਓਪਰੇਟਰ ਆਪਣੀਆਂ ਆਪਣੀਆਂ ਥਿਊਰਮਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਆਮ (ਜਨਰਲਾਇਜ਼) ਕਰਦੀ ਹੈ।:

ਥਿਊਰਮ	ਕਥਨ	ਵੇਰਵਾ
ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਥਿਊਰਮ	$\int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]$	ਕਿਸੇ ਕਰਵ L ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਦਾ ਲਾਈਨ ਇੰਟਗ੍ਰਲ, ਕਰਵ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ p ਅਤੇ q ਦਰਮਿਆਨ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਅੰਦਰ ਤਬਦੀਲੀ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਥਿਊਰਮ	$\underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\!\cdots \!\oint _{\!\!\!\!\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	ਕਿਸੇ $n$ -ਅਯਾਮੀ ਠੋਸ V ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੀ ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਦਾ ਇੰਟਗ੍ਰਲ, ਠੋਸ ਦੀ $(n -1)$ -ਅਯਾਮੀ ਬੰਦ ਹੱਦ ਸਤਹਿ ਰਾਹੀਂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਫਲਕਸ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਰਲ (ਕੈਲਵਿਨ-ਸਟੋਕਸ) ਥਿਊਰਮ	$\iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	$\mathbb {R} ^{3}$ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਸਤਹਿ Σ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੀ ਕਰਲ ਦਾ ਇੰਟਗ੍ਰਲ, ਸਤਹਿ ਦੀ ਹੱਦਬੰਦੀ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਬੰਦ ਕਰਵ ਦੁਆਲੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਘੁਮਾਵ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
$\varphi$ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $F$ , ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ

ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ, ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਅਤੇ ਕਰਲ ਥਿਊਰਮਾਂ ਗਰੀਨ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਤੱਕ ਘਟ ਕੇ ਛੋਟੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ:

ਥਿਊਰਮ	ਕਥਨ	ਵੇਰਵਾ
ਗਰੀਨ ਦੀ ਥਿਊਰਮ	$\iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\ =\ \oint _{\!\!\!\!\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	$\mathbb {R} ^{2}$ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਖੇਤਰ A ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੀ ਡਾਇਵਰਜੰਸ (ਜਾਂ ਕਰਲ) ਦਾ ਇੰਟਗ੍ਰਲ, ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਬੰਨਣ ਵਾਲੀ ਬੰਦ ਕਰਵ ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਫਲਕਸ (ਜਾਂ ਘੁਮਾਵ) ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਲਈ, $F=(M,-L)$ । ਕਰਲ ਲਈ, $F=(L,M,0)$ । L ਅਤੇ M, (x, y) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ।

ਉਪਯੋਗ

ਰੇਖਿਕ ਸੰਖੇਪਤਾਵਾਂ

ਰੇਖਿਕ ਸੰਖੇਪਤਾਵਾਂ, ਲੱਗਪਗ ਇੱਕੋ-ਜਿਹੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦੇਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x,y)$ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, $(x,y)$ ਲਈ $f(x,y)$ ਨੂੰ $(a,b)$ ਦੇ ਨੇੜੇ ਤੱਕ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਰਾਹੀਂ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ,

f(x,y)\approx f(a,b)+{\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)(x-a)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a,b)(y-b).

ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ $(a,b).$ ਉੱਤੇ $z=f(x,y)$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਪ੍ਰਤਿ ਪਲੇਨ ਸਪਰਸ਼-ਰੇਖਾ ਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ।

ਅਨੁਕੂਲਤਾ

ਕਿਸੇ ਨਿਰੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਟ-ਹੋਣ-ਯੋਗ ਕਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਬਦਲਣ-ਯੋਗਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ P (ਜੋ, ਇਨਪੁੱਟ ਬਦਲਣ-ਯੋਗਾਂ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ Rⁿ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ P ਉੱਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋ ਜਾਵੇ, ਜਾਂ ਇਹ ਕਹਿ ਲਵੋ, ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਵੇ। ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਮੁੱਲ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮੂਥ ਹੋਵੇ, ਜਾਂ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਵਾਰ ਨਿਰੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਟ-ਹੋਣ-ਯੋਗ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਲੋਕਲ ਉੱਚਤਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਲੋਕਲ ਨਿਮਨਤਮ ਜਾਂ ਇੱਕ ਥੱਲੇ ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵੱਖਰੇ ਮਾਮਲੇ, ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਦੇ ਹੈਸੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਆਈਗਨਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰ ਕੇ ਵੱਖਰੇ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

ਫਰਮਟ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ, ਕਿਸੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਟੀਸ਼ੀਏਟ-ਹੋਣ-ਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਲੋਕਲ ਉੱਚਤਮ ਅਤੇ ਨਿਮਨਤਮ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ ਪਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਕਰਕੇ, ਲੋਕਲ ਉੱਚਤਮ ਅਤੇ ਨਿਮਨਤਮ ਖੋਜਣ ਲਈ, ਸਿਧਾਂਤਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਦੀਆਂ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਅਤੇ ਹੇਸੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਆਈਗਨਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਉੱਤੇ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਇਆ ਜਾਵੇ।

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜਨਿਅਰਿੰਗ

ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ, ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਖਾਸਤੌਰ ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਜਨਰਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ

ਵੱਖਰੇ 3-ਮੈਨੀਫੋਲਡ

ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਸ਼ੁਰੂ-ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ $\mathbb {R} ^{3},$ ਯੁਕਿਲਡਨ 3-ਸਪੇਸ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ (ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ) ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ (ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਇੱਕ ਧਾਰਨਾ ਦਿੰਦਾ) ਨੌਰਮ, ਕਹੇ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ 3-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੀ ਜਗਹ ਤੋਂ ਪਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਬਣਤਰ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਧਾਰਨਾ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਖੱਬੇ-ਪਾਸੇ ਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਬਣਤਰਾਂ ਇੱਕ ਵੌਲੀਊਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਵੀ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵਿੱਚ ਕਾਫੀ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਅਤੇ ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂਕਿ ਕਰਲ ਅਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਸੱਜੇ-ਖੱਬੇ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਵੀ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। (ਹੋਰ ਵੇਰਵੇ ਲਈ, ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਤੇ ਖੱਬਾ-ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਦੇਖੋ)

ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਨੂੰ ਨੂੰ 3-ਅਯਾਮੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ (ਜਾਂ ਹੋਰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਸਮਰੂਪ ਗੈਰ-ਜੀਨ੍ਰੇਟ ਰੂਪ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੇ ਹੋਣ; ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਤੋਂ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਤੱਕ ਦੇ ਆਂਕੜਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਆਂਕੜੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦੀ, ਜੋ ਇਹ ਤੱਥ ਮੰਗਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ, ਸਪੈਸ਼ਲ ਔਰਥੋਗਨਲ ਗਰੁੱਪ SO(3) ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਅਧੀਨ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਸਰਵਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ 3-ਅਯਾਮੀ ਦਿਸ਼ਾ-ਯੁਕਤ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਸੂਡੋ-ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਣਤਰ ਦਾ ਸਰਲਤਾ ਨਾਲ ਇਹ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਰੂਪ ਗੈਰ-ਡੀਜਨ੍ਰੇਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕਰਦਾ ਹੇ ਕਿਉਂਕਿ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਅਯਾਮ

ਜਿਸ ਤੋਂ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਇੱਕ ਉੱਪ-ਸਮੂਹ ਰਚਦਾ ਹੈ, ਓਸ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੇਖਾ ਗਣਿਤ ਦੀ ਮਸ਼ੀਨਰੀ ਨੂੰ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਜਿਆਦਾਤਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਣਾਤਮਿਕ ਨਤੀਜੇ, ਇੱਕ ਹੋਰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸਮਝੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਅਤੇ ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਤੁਰੰਤ ਹੋਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਥਿਊਰਮ, ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਥਿਊਰਮ, ਅਤੇ ਲਾਪਲਾਸੀਅਨ (ਜੋ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਰਚਦੀ ਹੈ) ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂਕਿ ਕਰਲ ਅਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਬਣਦੇ।

ਇੱਕ ਆਮ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ, (3-ਅਯਾਮੀ) ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਅੰਦਰਲੇ ਵਿਭਿੰਨ ਖੇਤਰ ਇੱਕ-ਸਾਰ ਤੌਰ ਤੇ k-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ: ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ 0-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹਨ, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ 1-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਸੂਡੋ-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ 2-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸੂਡੋ-ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ 3-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹਨ। ਉੱਚ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਵਾਧੂ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਫੀਲਡਾਂ (ਸਕੇਲਰ/ਵੈਕਟਰ/ਸੂਡੋ-ਵੈਕਟਰ/ਸੂਡੋਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਜੋ 0/1/n−1/n ਅਯਾਮਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਅਯਾਮ 3 ਵਿੱਚ ਸੰਪੂਰਣ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਸੂਡੋ-ਸਕੇਲਰਾਂ ਅਤੇ ਸੂਡੋ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।

ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਗੈਰ-ਡੀਜਨਰੇਟ ਰੂਪ ਨੂੰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕੇਵਲ ਅਯਾਮ 3 ਵਿੱਚ ਜਾਂ 7 ਵਿੱਚ^[2] (ਅਤੇ ਸੂਖਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਅਯਾਮ 0 ਜਾਂ 1 ਵਿੱਚ) ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੀ ਕਰਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਤੀਜੇ ਅਯਾਮ ਜਾਂ 7 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਹੋਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਬਣਾਉਣ ਵਾਸਤੇ ਇਹ ਜਰੂਰੀ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਾਂ ਤਾਂ $n-1$ ਵੈਕਟਰ 1 ਵੈਕਟਰ ਪੈਦਾ ਕਰਨ, ਜਾਂ ਫੇਰ ਇਹ ਬਦਲਵਾਂ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਹੋਣ, ਜੋ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਆਮ ਗੈਰ-ਸਮਰੂਪ ਦੋਰੇਖੀ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ)।

ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਅਤੇ ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਦੀ ਸਰਵ-ਸਧਾਰਨ-ਕਰਨ, ਅਤੇ ਕਰਲ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਰਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਰਲ: ਜਨਰਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ; ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਰੁਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੀ ਕਰਲ ਇੱਕ ਬਾਇ-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸੂਖਮ ਘੁਮਾਵਾਂ ਦੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਔਰਥੋਗਨਲ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ; ਫੇਰ ਵੀ, ਇਸ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਅਯਾਮਾਂ ਦਾ ਫਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ – 3-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਵਾਂ ਦੇ 3 ਅਯਾਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ 4-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ 6 ਅਯਾਮੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਅਤੇ ਹੋਰ ਆਮਤੌਰ ਤੇ n-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਵਾਂ ਦੇ $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ ਅਯਾਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।)

ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੇ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਬਦਲਵੇਂ ਸਰਵ-ਸਧਾਰਨ-ਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ, ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਲਜਬਰਾ, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੀ ਜਗਹ k-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਵਰਤਦਾ ਹੈ (3 ਜਾਂ ਹੋਰ ਘੱਟ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ k-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ।) ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਵਿੱਚ ਲੈਣ ਤੇ, ਅਤੇ ਆਊਟਪੁੱਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਬਾਹਰੀ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਸਥਾਨ ਲੈ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ 3-ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋਂਦ ਰੱਖਦਾ ਹੇ ਅਤੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾੰ ਅਂਦਰ ਲੈਂਦਾ ਹੋਇਆ, ਆਊਟਪੁੱਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਬਾਇ-ਵੈਕਟਰ (2-ਵੈਕਟਰ) ਫੀਲਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰੋਡਕਟ, ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਉੱਤੇ (ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਡੀਜਨਰੇਟ ਰੂਪ ਨਾਲ) ਅਲਜਬ੍ਰਿਕ ਬਣਤਰ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਾ-ਗਣਿਤਿਕ ਅਲਜਬਰਾ ਜਿਆਦਾਤਰ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀਆਂ ਸਰਵ-ਸਧਾਰਨ-ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਹੋਰ ਉਪਯੋਗੀ ਫੀਲਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਦੂਜਾ ਸਮਾਨੀਕਰਨ, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਜਾਂ k-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੀ ਜਗਹ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੂਪ ਵਰਤਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਪੱਧਰ ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਖਾਸ ਕਰ ਕੇ ਡਿਫ੍ਰੇਂਸ਼ੀਅਲ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀ, ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਅਤੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ, ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਦਿਸ਼ਾ-ਯੁਕਤ ਸੂਡੋ-ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਉੱਤੇ ਹੌਜ ਥਿਊਰੀ ਰਚਦੇ ਹੋਏ। ਇਸ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ, ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ, ਕਰਲ, ਅਤੇ ਡਾਇਵਰਜੰਸ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ 0-ਕਿਸਮ, 1-ਕਿਸਮ, ਅਤੇ 2-ਕਿਸਮਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਬਾਹਰੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਥਿਊਰਮਾਂ, ਸਭ ਹੀ, ਸਟੋਕ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਦੇ ਖਾਸ ਮਾਮਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਇਹਨਾਂ ਦੋਵੇਂ ਸਮਾਨੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ, ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਸਮਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਖਰੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਪਛਾਣਦਾ ਹੇ, ਜੋ ਪੇਸ਼ਕਾਰੀ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਪਿੱਛੇ ਛੁਪੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ ਅਤੇ ਸਮਾਨੀ ਕਰਨਾਂ ਦੀ ਸਪਸ਼ਟਤਾ ਘਟਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ, ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ k-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਦਾ ਹੈ: 0-ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ 3-ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, 1-ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ 2-ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਦਾ ਹੈ।

ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ, ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ k-ਕਿਸਮਾਂ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਰੌਰ ਤੇ ਨਿਖੇੜਦਾ ਹੈ: 0-ਕਿਸਮਾਂ ਅਤੇ 3-ਕਿਸਮਾਂ ਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, 1-ਕਿਸਮ ਅਤੇ 2-ਕਿਸਮਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਨਪੁੱਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰਲ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਜਾਂ 1-ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ 2-ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਜਾੰ 2-ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ (ਇਸਲਈ ਸੂਡੋ-ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ), ਜੋ ਫੇਰ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲੈਣ ਦੀ ਜਗਹ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਅਜਿਹਾ ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਆਊਟਪੁੱਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਾ ਲੈਣ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੀ ਕਰਲ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲਗਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

ਹਵਾਲੇ

ਗ੍ਰੰਥ-ਸੂਚੀਆਂ

↑ Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3. {{cite book}}: Unknown parameter |authors= ignored (help)
↑ Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 doi:10.1007/BF02837124

ਸੋਮੇ

Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System (reprint ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-67910-5.
Marsden, J. E. (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
Schey, H. M. (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Vector analysis", ਗਣਿਤ ਦਾ ਵਿਸ਼ਵਕੋਸ਼, ਸਪਰਿੰਗਰ, ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Vector algebra", ਗਣਿਤ ਦਾ ਵਿਸ਼ਵਕੋਸ਼, ਸਪਰਿੰਗਰ, ISBN 978-1-55608-010-4
Vector Calculus Video Lectures from University of New South Wales on Academic Earth
A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
Expanding vector analysis to an oblique coordinate system
Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis

[Galbis-2012-p12-1] Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3. {{cite book}}: Unknown parameter |authors= ignored (help)

[2] Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 doi:10.1007/BF02837124

[1]

[2]