ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਅਜਿਹੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਵਕਤ ਬੀਤਣ ਉਪਰੰਤ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਪ੍ਰਭਾਵ, ਜਿਵੇਂ ਵੇਵ-ਪਾਰਟੀਕਲ ਡਿਊਲਿਟੀ, ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਨਤੀਜਾ ਮੰਨੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮੀਲਪੱਥਰ ਰਹੀ ਸੀ। ਇਸਦਾ ਨਾਮ ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਨੇ 1925 ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤੀ ਸੀ ਅਤੇ 1933 ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨੋਬਲ ਪ੍ਰਾਈਜ਼ ਜਿੱਤਣ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਉਸਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਅਧਾਰ ਰਚਦੇ ਹੋਏ 1926 ਵਿੱਚ ਛਾਪੀ ਸੀ।^[1]^[2] ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ-ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ, ਜੋ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਹਿੱਲਜੁੱਲ ਦੇ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਦੂਜਾ ਨਿਯਮ ( $F = m a$ ) ਕੋਈ ਗਣਿਤਿਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਿਆਤ ਅਰੰਭਿਕ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਸੈੱਟ ਅਪਣਾਉਣਾਂ ਹੋਇਆ ਕੋਈ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਸਿਸਟਮ ਕਿਹੜਾ ਰਸਤਾ ਅਪਣਾਏਗਾ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮ (ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਐਟਮ, ਮੌਲੀਕਿਊਲ, ਅਤੇ ਸਬਐਟੌਮਿਕ ਕਣ, ਚਾਹੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਣ, ਚਾਹੇ ਬੰਨੇ ਹੋਏ ਜਾਂ ਸਥਾਨਬੱਧ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਹੋਣ) ਵਾਸਤੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਤੁੱਲ (ਐਨਾਲੌਗ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕੋਈ ਸਰਲ ਅਲਜਬ੍ਰਿਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਗੋਂ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਜਿਸਨੂੰ ਅਵਸਥਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਦੀ ਸਮਾਂ-ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਰਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।^[3]^: 1–2

ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮਾਂ-ਉਤਪਤੀ ਓਪਰੇਟਰ ਜਰੂਰ ਹੀ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਸਵੈ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕੁਆਂਟਮ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਸਮਝਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅੰਦਰ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਵੇਰਵਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਲ ਨਾ ਕੇਵਲ ਮੌਲੀਕਿਊਲਰ, ਐਟੌਮਿਕ, ਅਤੇ ਉੱਪ-ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਸਿਸਟਮ ਹੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਮੈਕ੍ਰੋਸਕੋਪਿਕ ਸਿਸਟਮ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਸਾਰਾ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।^[4]^: 292ff ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਸਮੇਤ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਸਭ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਕੇਂਦਰੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨਾਲ ਮੇਲਦੀ ਹੈ। ਸਟਰਿੰਗ ਥਿਊਰੀ ਵਰਗੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵੀ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਨ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫਿਜਿਕਲ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਦਸ਼ਾ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਇਹ ੧੯੨੫ ਵਿੱਚ ਤਿਆਰ ਅਤੇ ੧੯੨੬ ਵਿੱਚ ਆਸਟਰੀਆ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਇਰਵਿਨ ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਵੱਲੋਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ।^[2] ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਨਿਯਮ ( $F = m a$ ) ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਆਇਲਰ ਲਗਰਾਂਜੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਕਿਹੜਾ ਮਾਰਗ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਸਿਸਟਮ ਅਰੰਭਿਕ ਹਾਲਤਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੇਠ ਲੈ ਲਵੇਗਾ। ਪਰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਮਿਆਰੀ ਵਿਆਖਿਆ ਵਿੱਚ ਵੇਵਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ ਫਿਜੀਕਲ ਸਟੇਟ ਦੀ ਸਾਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਣ ਨਾ ਕੇਵਲ ਪਰਮਾਣੂ, ਅਣੂ, ਅਤੇ ਉਪ-ਪਰਮਾਣੂਕਣਾਂ ਦੀ ਦਸ਼ਾ ਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਸਗੋਂ ਮੈਕਰੋ ਸਿਸਟਮ, ਸ਼ਾਇਦ ਪੂਰੇ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਵੀ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨਾ ਕੇਵਲ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਹੋਰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀਆਂ ਵੀ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਵਰਨਰ ਹੇਜ਼ਨਬ੍ਰਗ ਰਾਹੀਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ, ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਰਿਚਰਡ ਫਾਇਨਮਨ ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ। ਪੌਲ ਡੀਰਾਕ ਨੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਿੰਗਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤਾ।

ਸਮੀਕਰਨ

ਵਕਤ-ਨਿਰਭਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪ ਭੌਤਿਕੀ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਖਾਸ ਮਾਮਲਿਆਂ ਲਈ ਥੱਲੇ ਦੇਖੋ)। ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਆਮ ਕਿਸਮ ਸਮੇਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਵਕਤ ਨਾਲ ਉਤਪੰਨ ਹੋ ਰਹੇ ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਵਰਣ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।:^[5]^: 143

ਇੱਕ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ

V = 0

ਨਾਲ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਖਾਲੀ ਸਪੇਸ ਰਾਹੀਂ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੇ ਕਿਸੇ ਕਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹਿੱਸਾ ਇੱਥੇ ਵਾਹਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਸਮੇਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ (ਆਮ)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

ਜਿੱਥੇ

$i$ ਕਾਲਪਿਨਕ ਇਕਾਈ ਹੈ,
$ħ$ ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਪਲੈਂਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ ਜੋ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ ,
ਚਿੰਨ $\partial / \partial t$ , ਟਾਈਮ $t$ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ,
$Ψ$ (ਗ੍ਰੀਕ ਅੱਖਰ ਸਾਈ) ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
$r$ ਅਤੇ $t$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਹਨ, ਅਤੇ
$Ĥ$ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਜੋ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਲੈਂਦਾ ਹੋਇਆ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਲੱਛਣਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ)।

ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨੇ ਕਤਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਇੱਕ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ ਲਈ ਸਮੇਂ-ਤੇ-ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਖੱਬੇ: ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹਿੱਸਾ (ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਵਿੱਚ) ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਹਿੱਸਾ (ਲਾਲ ਰੰਗ ਵਿੱਚ)। ਸੱਜੇ: ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਕਣ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ। ਸ਼ਿਖਰਲੀਆਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ, ਜੋ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ। ਤਲ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜੋ ਕੋਈ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਸੱਜਾ ਕਾਲਮ ਸਮਝਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਉਂ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਹੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਉਦਾਹਰਨ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ (ਪਰ ਕਿਸੇ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ: ਪੌਲੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇਖੋ) ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ;^[6]

ਸਮੇਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ
(ਸਿੰਗਲ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕਣ)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)$

ਜਿੱਥੇ

$μ$ ਕਣ ਦਾ ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਪੁੰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
$V$ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੇ,
$\nabla 2$ ਲੈਪਲਾਸੀਅਨ (ਇੱਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ) ਹੈ, ਅਤੇ
$Ψ$ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ (ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਸ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ ਪੁਜੀਸ਼ਨ-ਸਪੇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)। ਸਧਾਰਨ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਐਨਰਜੀ ਪਲੱਸ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀ, ਪਰ ਹੇਠਾਂ ਸਮਝਾਏ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ ਰਕਮਾਂ ਬੇਪਛਾਣ ਰੂਪ ਲੈ ਲੈਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਖਾਸ ਡਿਫ਼੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਇਹ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਹੀਟ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਇਹ ਟ੍ਰਾਂਜ਼ੀਐਂਟ ਰਕਮ ਅੰਦਰ ਹਾਜ਼ਰ ਕਾਲਪਿਨਕ ਯੂਨਿਟ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ ਇੱਕ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਸ਼ਬਦ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਮ ਇਕੁਏਸ਼ਨ (ਉੱਪਰਲਾ ਪਹਿਲਾ ਬੌਕਸ) ਵੱਲ ਵੀ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਖਾਸ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵਰਜ਼ਨ (ਉੱਪਰਲਾ ਦੂਜਾ ਬੌਕਸ ਅਤੇ ਉਸਦੀਆਂ ਵੇਰੀਏਸ਼ਨਾਂ) ਵੱਲ ਵੀ। ਆਮ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸੱਚਮੁੱਚ ਕਾਫੀ ਆਮ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਲਈ ਵਿਭਿੰਨ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਭਰ ਕੇ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਤੱਕ ਹਰੇਕ ਚੀਜ਼ ਵਾਸਤੇ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਖਾਸ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵਰਜ਼ਨ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪਾਤਮਿਕ ਲੱਗਪਗਤਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਈ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਹੋਰਾਂ ਅੰਦਰ ਬਹੁਤ ਗਲਤ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ)।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਪਲਾਈ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਿਸਟਮ ਵਾਸਤੇ ਹੈ ਓਪਰੇਟਰ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਰਚਣਹਾਰੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਅਤੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਫੇਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਨ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਬਾਬਤ ਸੂਚਨਾ ਰੱਖਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਵਕਤ-ਸੁਤੰਤਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ

ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਈ ਸਮੇਂ-ਤੇ-ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਰਚ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ (ਔਰਬਿਟਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਐਟੌਮਿਕ ਔਰਬਿਟਲਾਂ ਜਾਂ ਮੌਲੀਕਿਊਲਰ ਔਰਬਿਟਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕਰਕੇ ਸਮਝਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਸਮੇਂ-ਤੇ-ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਅਸਾਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਸਰਲ ਕਿਸਮ ਰਾਹੀਂ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। (ਇਹ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਖੁਦ ਹੀ ਸਮੇਂ ਉੱਤੇ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰ ਨਾ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਕੁੱਲ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਸਮਾਂ ਨਿਰਭਰਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।)

ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ (ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ)

$\operatorname {\hat {H}} \Psi =E\Psi$

ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ:

ਜਦੋਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਕਿਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $Ψ$ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਓਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $Ψ$ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ (ਪ੍ਰੋਪੋਸ਼ਨਲ) ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ $Ψ$ ਇੱਕ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਸਥਿਰਾਂਕ $E$ , ਅਵਸਥਾ $Ψ$ ਦੀ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋਰ ਥੱਲੇ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਲੀਨੀਅਰ ਅਲਜਬਰਾ ਨਿਯਮਾਵਲੀ ਅੰਦਰ, ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਪ੍ਰਗਟਾਅ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ (ਪਰ ਕੋਈ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ) ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

ਸਮਾੰ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ (ਸਿੰਗਲ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕਣ)

$\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} )$

ਜਿਸਦੀਆਂ ਉੱਪਰ ਵਾਂਗ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਅਜੋਕੀ ਸਮਝ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।^[7] ਜੇਕਰ ਸਮੇਂ t ਉੱਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $\Psi (t)$ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਲੀਨੀਅਰਟੀ ਸਦਕਾ, ਸਮੇਂ t’ ਉੱਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਰੂਰ ਹੀ $\Psi (t')=U(t',t)\Psi (t)$ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੇ, ਜਿੱਥੇ $U(t',t)$ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂ-ਉਤਪਤੀ ਜਰੂਰ ਹੀ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨੌਰਮ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ $U(t',t)$ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਕੋਈ ਮੈਂਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ $t'=t$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਜਰੂਰ ਹੀ $U(t,t)=1$ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, t ਦੇ ਬਹੁਤ ਨਜ਼ਦੀਕ t’ ਲਈ, ਓਪਰੇਟਰ $U(t',t)$ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ $U(t',t)=1-iH(t'-t)$ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ H ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂ-ਅੰਤਰ $t'-t$ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸੂਖਮ ਹੱਦ ਤੱਕ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਹੁਣ ਤੱਕ, H ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਅਮੂਰਤ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕੌਰਸਪੌਂਡੈਂਸ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਹੱਦ ਵਿੱਚ, H ਦੀ ਐਕਸਪੈਕਟੇਸ਼ਨ ਵੈਲੀਊ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੌਰਸਪੌਂਡੈਂਸ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਕਰਕੇ ਕੁਆਂਟਮ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਫਿਕਸ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ, ਕੁਆਂਟਮ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧ ਕਿਸਮ ਜਰੂਰ ਹੀ ਅਨੁਭਵ-ਸਿੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਫਿਕਸ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਵ

ਨਤੀਜੇ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਰਾਰ ਦਾਖਲ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਕਿਸਮ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸੀ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੇ ਅਜਿਹੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵੱਲ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਦਿੱਤੀ ਜੋ ਵਕਤ ਲਈ ਬਹੁਤ ਹੀ ਅਸਧਾਰਨ ਅਤੇ ਬੇਉਮੀਦ ਸਨ।

ਕੁੱਲ ਗਤਿਜ ਅਤੇ ਸਥਿਤਿਕ ਊਰਜਾ

ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਕਿਸਮ ਅਸਧਾਰਨ ਜਾਂ ਉਮੀਦ ਤੋਂ ਪਰੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਊਰਜਾ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਦਾ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਵਰਤਦੀ ਹੈ। ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਰਕਮਾਂ ਨੂੰ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਆਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਜਮਾਂ ਸਿਸਟਮ ਸਥਿਤਿਕ ਊਰਜਾ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰਲੀ ਊਰਜਾ ਵਾਂਗ ਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।

ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਪੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਨਿਰਧਾਰੀਕ੍ਰਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਖਾਸ ਅਨਿਰੰਤਰ ਮੁੱਲ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਊਰਜਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ: ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਊਰਜਾ ਕਿਸੇ ਐਟਮ ਅੰਦਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ਡ ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲੈਵਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਐਟੌਮਿਕ ਸਪੈਕਟ੍ਰੋਸਕੋਪੀ ਰਾਹੀਂ ਖੋਜਿਆ ਇੱਕ ਤੱਥ ਹੈ। (ਊਰਜਾ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਥੱਲੇ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਹ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਐਟਮ ਦੇ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਨਤਾ ਸੀ, ਪਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇਹ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਨਾਪ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੌਜ਼ੀਟ੍ਰੌਨ, ਮੋਮੈਂਟਮ, ਟਾਈਮ, ਅਤੇ (ਕੁੱਝ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ) ਊਰਜਾ ਕਿਸੇ ਨਿਰੰਤਰ ਰੇਂਜ ਦੇ ਆਰਪਾਰ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।^[8]^{: 165–167}

ਨਾਪ ਅਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ

ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਕਣ, ਹਰੇਕ ਪਲ ਉੱਤੇ, ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਹੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਹੀ ਮੋਮੈਂਟਮ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਕਣ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅਧੀਨ, ਕਣ ਸਹੀ ਸਹੀ ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ ਹੁੰਦੇ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਪੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਤੋਂ ਮਨਚਾਹੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੱਢ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਵਿਸਥਾਰ-ਵੰਡਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਮੁਢਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹਰੇਕ ਨਾਪ ਦੇ ਸਹੀ ਸਹੀ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀ।

ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦਾ ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਜਨਮਜਾਤ ਨਾਪ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਦਾ ਕਥਨ ਹੈ। ਇਹ ਬਿਆਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਜਿੰਨੀ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਉੰਨੀ ਹੀ ਘੱਟ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਉਸਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ (ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ) ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਭਾਵੇਂ ਚਾਹੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਗਿਆਤ ਵੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਵੀ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਨਾਪ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

ਕੁਆਂਟਮ ਟੱਨਲਿੰਗ

ਕਿਸੇ ਬੈਰੀਅਰ ਰਾਹੀਂ ਕੁਆਂਟਮ ਟਨਲਿੰਗ। ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ ਆ ਰਿਹਾ ਕੋਈ ਕਣ ਬੈਰੀਅਰ ਟੱਪਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਕਦੇ ਕਫਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ ਲਈ ਸੁਰੰਗ ਬਣਾ ਲੈਂਦਾ ਹੈ।

ਕਲਾਸੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਗੇਂਦ ਕਿਸੇ ਵੱਡੇ ਪਹਾੜ ਦੇ ਉੱਤੇ ਹੌਲੀ ਹੌਲੀ ਰੋੜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਰੁਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਥੱਲੇ ਆਉਣ ਲਗਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਾੜ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ ਲਈ ਪਹਾੜ ਦੇ ਸ਼ਿਖਰ ਤੱਕ ਚੜਨ ਵਾਸਤੇ ਇਸ ਕੋਲ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਫੇਰ ਵੀ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗੇਂਦ ਪਹਾੜ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਚਲੀ ਜਾਏਗੀ, ਭਾਵੇਂ ਸ਼ਿਖਰ ਤੱਕ ਜਾਣ ਲਈ ਇਸ ਕੋਲ ਬਹੁਤ ਹੀ ਘੱਟ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਟਨਲਿੰਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਊਰਜਾ ਦੀ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ: ਭਾਵੇਂ ਦੀ ਕਲਪਿਤ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪਹਾੜ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਉੱਤੇ ਹੁੰਦੀ ਦਿਸਦੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਖੋਜਣ ਦਾ ਇੱਕ ਚਾਂਸ (ਮੌਕਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਤਰੰਗਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਣ

ਵਕਤ ਬੀਤਣ ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਸਕਰੀਨ ਉੱਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਦੇ ਜਮਾਵੜੇ ਨੂੰ ਦਿਖਾ ਰਿਹਾ ਡਬਲ ਸਲਿਟ ਐਕਸਪੈਰੀਮੈਂਟ

ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਗੈਰ-ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਮਕ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅਕਸਰ ਇਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਣ ਤਰੰਗਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਰਗਾ ਵਰਤਾਓ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕੁੱਝ ਅਜੋਕੀਆਂ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੇਰਵਾ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ- ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਤਰੰਗ, ਹੀ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅਸਲੀ ਭੌਤਿਕੀ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਢੁਕਵੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ ਇਹ ਕਣ-ਵਰਗੇ ਵਰਤਾਓ ਦੇ ਲੱਛਣ ਦਿਖਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਬੈਲੈਂਟੀਨ^[9]^{: Chapter 4, p.99} ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੀ ਕੋਈ ਵਿਆਖਿਆ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ-ਯੁਕਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਬੈਂਲੈਂਟੀਨ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂਕਿ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ (ਸਬੰਧਤ ਕਰਨਾ) ਤਰਕਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਜੇ ਵੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਕਈ ਕਣਾਂ ਲਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ:

"ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਤਰੰਗ ਫੀਲਡ ਨੂ੍ੰ ਕਿਸੇ ਕਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਕਣ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੇਵ-ਪੈਕਟ ਨਾਲ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ N ਕਣਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੀਆਂ N ਤਰੰਗਾਂ ਵੀ ਸਧਾਰਨ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਜਰੂਰ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਰ (4.6) ਮੁਤਾਬਿਕ, ਅਜਿਹਾ ਮਾਮਲਾ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਸਦੇ ਸਥਾਨ ਤੇ ਕਿਸੇ ਅਮੂਰਤ 3N-ਅਯਾਮੀ ਰਚਨਾ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਇੱਕੋ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਈ ਦੀ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਤਰੰਗ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਗਲਤ-ਵਿਆਖਿਆ ਸਧਾਰਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਜਿਆਦਾਤਰ ਸਾਂਝੇ ਉਪਯੋਗ ਇੱਕ-ਕਣ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਲਈ ਰਚਨਾ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਸਧਾਰਨ ਸਪੇਸ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।"

ਦੋ-ਸਲਿਟ ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਉਹਨਾਂ ਅਜੀਬ ਵਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਤਰੰਗਾਂ ਨਿਯਮਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਣਾਂ ਨਾਲ ਸਹਿਜ ਸਮਝ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੋਵੇਂ ਸਲਿੱਟਾਂ ਤੋਂ (ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ) ਔਵਰਲੈਪਿੰਗ (ਉੱਪਰ ਚੜਨ ਵਾਲੀਆਂ) ਤਰੰਗਾਂ ਕੁੱਝ ਸਥਾਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਸਪਰ ਤੌਰ ਤੇ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਥਾਨਾਂ (ਲੋਕੇਸ਼ਨਾਂ) ਤੇ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨਮੂਨਾ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਵਿੱਚ ਜੁੜ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਹਿਜ ਸਮਝ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਲਿਟਾਂ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਨੂੰ ਫਾਇਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਸ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਨਹੀਂ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਕਣ ਇੱਕ ਸਲਿਟ ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਜਾਂ ਦੂਜੀ ਸਲਿਟ ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਦੋਹਾਂ ਸਲਿੱਟਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਓਵਰਲੈਪ ਵਿੱਚ ਨੂੰ ਹੀ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਕਿਵੇਂ ਨਾ ਕਿਵੇਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕੋਈ ਸਿੰਗਲ ਕਣ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਡਬਲ-ਸਲਿੱਟ ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣ ਲਈ ਫਾਇਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੇ ਤਾਂ ਇਹੀ ਨਮੂਨਾ ਪ੍ਰਦ੍ਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ)। ਧਿਆਨ ਦੇਓ ਕਿ: ਪ੍ਰਯੋਗ ਜਰੂਰ ਹੀ ਕਈ ਵਾਰ ਦੋਹਰਾਇਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾੰ ਜੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨਮੂਨਾ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕੇ। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਸਹਿਜ ਸਮਝ ਵਿਰੋਧੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਅਨੁਮਾਨ ਸਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ; ਖਾਸ ਕਰਕੇ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਨਿਊਟ੍ਰੌਨ ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਸਮਝੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਵੱਡੇ ਪੱਧਰ ਤੇ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

ਡਿਫ੍ਰੈਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ, ਕਣ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੰਟ੍ਰਫੇਰੈਂਸ ਵੀ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਕਿਸੇ ਕਣ ਨੂੰ ਦੋ ਜਾਂ ਜਿਆਦਾ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੱਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਉਹ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ, ਜੋ ਕੋਈ ਸਿਸਟਮ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ $x$ ਤੇ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਨਾ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ $x$ ਉੱਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਕਣ ਖੁਦ ਹੀ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਦੋ ਕਲਾਸੀਕਲ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੱਚਮੁੱਚ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਨਾਪ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਾਸਤੇ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨ ਪ੍ਰਤਿ ਅਯੋਗ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

ਮੈਨੀ-ਵਰਲਡ ਵਿਆਖਿਆ

ਡਬਲਿਨ ਵਿਖੇ 1952 ਵਿੱਚ, ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਇੱਕ ਲੈਕਚਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੱਲ ਉੱਤੇ ਉਸਨੇ ਮਜ਼ਾਕ ਦੇ ਲਹਿਜੇ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਸਰੋਤਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਵਧਾਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਹ ਜੋ ਕਹਿਣ ਵਾਲਾ ਹੈ ਪਗਲਪਣ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਹ ਸਮਾਂ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਉਸਦੀਆਂ ਉੱਤਮ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਵੱਖਰੇ ਇਤਿਹਾਸਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਦਿਸਦੀਆਂ ਸਨ, ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਾ ਬਦਲ ਨਹੀਂ ਸਨ, ਪਰ ਸਭ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹੀ ਇਕੱਠੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਮੈਨੀ-ਵਰਲਡ ਇੰਟ੍ਰਪ੍ਰੈਟੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਅਰੰਭਿਕਾਤਮਿਕ ਗਿਆਤ ਹਵਾਲਾ ਸੀ।^[10]

ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕਿਵੇਂ ਕੋਈ ਸਿਸਟਮ ਵਕਤ ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਤੌਰ ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕਰਨ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਰਸਤਾ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਕਹਿੰਦੀ ਕਿ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਸਵਾਲਾਂ ਦੀ ਗੱਲ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜੋ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਨਾਪਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕੀ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪਹਿਲੂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲੈਪਸ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਪੁਰਾਤਨਾਤਮਿਕ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅੰਦਰ, ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲੈਪਸ ਦੌਰਾਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਹ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਅਲੱਗ ਹੀ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕੁਆਂਟਮ ਡੀਕੋਹਰੰਸ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਖੋਜ ਨੇ ਬਦਲਵੇਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਐਵਰੈਟ ਮੈਨੀ-ਵਰਲਡਜ਼ ਵਿਆਖਿਆ ਅਤੇ ਅਨੁਕੂਲ ਇਤਿਹਾਸਾਂ) ਨੂੰ ਆਗਿਆ ਦਿੱਤੀ, ਜਿੱਥੇ ਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਖਰੀ ਉਤਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲੈਪਸ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਕਿਸੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਇਤਿਹਾਸਿਕ ਪਿਛੋਕੜ ਅਤੇ ਵਿਕਾਸ

ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ

ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਮੈਕਸ ਪਲੈਂਕ ਦੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਬਲੈਕ ਬੌਡੀ ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ ਦੇਖੋ) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਲਬ੍ਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਪਲੈਂਕ ਦੇ ਕੁਆਂਟਾ ਨੂੰ ਫੋਟੌਨਾਂ ਦੇ ਹੋਣ ਵਜੋਂ ਵਿਆਖਿਅਤ ਕੀਤਾ, ਜੋ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ੀ ਕਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੋਟੋਨ ਦੀ ਊਰਜਾ ਉਸਦੀ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਤਰੰਗ-ਕਣ ਡਿਊਲਿਟੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਲੱਛਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਉਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਅਤੇ ਵੇਵਨੰਬਰ, ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਫੋਟੋਨ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ $p$ ਇਸਦੀ ਵੇਵਲੈਂਥ $λ$ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਵੇਵਨੰਬਰ $k$ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ (ਪ੍ਰੋਪੋਸ਼ਨਲ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k

ਜਿੱਥੇ $h$ ਪਲੈਂਕ ਦਾ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ। ਲੁਇਸ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਨੇ ਪਰਿਕਲਪਿਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਸਾਰੇ ਕਣਾਂ ਲਈ ਇਹ ਸੱਚ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਵਰਗੇ ਪੁੰਜ ਵਾਲੇ ਕਣ ਹੀ ਕਿਉਂ ਨਾ ਹੋਣ। ਉਸਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਪਦਾਰਥਕ ਤਰੰਗਾਂ ਆਪਣੇ ਕਣ ਵਿਰੋਧੀਸਾਥੀਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਸੰਚਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਕੁੱਝ ਅਨਿਰੰਤਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਲ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀਆਂ ਹੀ ਨਿਊਕਲੀਅਸ ਦੁਆਲੇ ਕਿਸੇ ਐਟਮ ਲਈ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।^[11]

ਇਹ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ਡ ਔਰਬਿਟ ਡਿਸਕ੍ਰੀਟ (ਅਨਿਰੰਤਰ) ਊਰਜਾ ਪੱਧਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਨੇ ਐਨਰਜੀ ਲੈਵਲਾਂ ਲਈ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ। ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਇਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਮੁਤਾਬਿਕ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ $L$ ਦੀ ਮੰਨੀ ਹੋਈ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਸੀ:

L=n{h \over 2\pi }=n\hbar

ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਮੁਤਾਬਿਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਨੰਬਰ ਜਰੂਰ ਹੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੇ ਔਰਬਿਟ ਦੇ ਘੇਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਫਿੱਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:

n\lambda =2\pi r.\,

ਇਹ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ (ਰੇਡੀਅਸ) $r$ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰੀ ਔਰਬਿਟ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।

1921 ਵਿੱਚ, ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਰਥਰ ਚੀ ਲੁੱਨ ਨੇ ਸ਼ੀਕਾਗੋ ਦੀ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਵਿਖੇ, ਹੁਣ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਬੰਧ ਕਹੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਊਰਜਾ-ਮੋਮੈਂਟਮ 4-ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਪੂਰਤੀ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਓਹੀ ਤਰਕ ਵਰਤਿਆ ਸੀ।^[12] ਬ੍ਰਗੋਲਿ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਲੁੱਨ ਅਜਿਹੀ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕਰਨ ਗਿਆ ਜਿਸਨੂੰ ਹੁਣ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਲਈ ਇਸਦੇ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੱਕ ਗਿਆ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਉਸਦਾ ਪੇਪਰ ਫਿਜ਼ੀਕਲ ਰੀਵੀਊ ਰਾਹੀਂ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਜਿਵੇਂ ਕੈਮਨ ਰਾਹੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਗਿਣਿਆ ਗਿਆ।^[13]

ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਦੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਪੀਟਰ ਡਿਬਾਇ ਨੇ ਇੱਕ ਇੱਕਦਮ ਟਿੱਪਣੀ ਕੀਤੀ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਣ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਹ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਡੀਬਾਇ ਦੀ ਟਿੱਪਣੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਲੈ ਕੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਲਈ ਇੱਕ ਢੁਕਵੀਂ 3-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਖੋਜਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਲਿਆ। ਉਸਦਾ ਮਰਗ ਦਰਸ਼ਣ ਵਿਲੀਅਮ ਰੋਵਨ ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੀ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਔਪਟਿਕਸ ਦਰਮਿਆਨ ਤੁੱਲਤਾ (ਐਨਾਲੌਗੀ) ਨੇ ਕੀਤਾ, ਜਿਸ ਦੇ ਨਿਰੀਖਣ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸਕੇਂਤਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਸੀ ਕਿ, ਔਪਟਿਕਸ ਦੀ ਜ਼ੀਰਿ-ਤਰੰਗਲੰਬਾਈ ਸੀਮਾ ਕਿਸੇ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ ਮਿਲਦੀ ਜੁਲਦੀ ਹੈ- ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਕਿਰਨਾਂ ਦੇ ਵਕਰਿਤ ਪਥ ਤਿੱਖੇ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਫਾਰਮਟ ਦੇ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਲੀਸਟ ਐਕਸ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਇੱਕ ਤੁੱਲ (ਐਨਾਲੌਗ) ਹੈ।^[14]ਉਸਦੇ ਤਰਕ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜੋਕਾ ਵਰਜ਼ਨ ਥੱਲੇ ਫੇਰ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜੀ ਗਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੈ:^[15]

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t).

ਫੇਰ ਵੀ, ਓਸ ਵਕਤ ਤੱਕ, ਅਰਨਾਲਡ ਸੋਮਰਫੈਲਡ ਨੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸੁਧਾਰਾਂ ਸਦਕਾ ਬੋਹਰ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ।^[16]^[17] ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ (ਕੁਦਰਤੀ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਕਿਸੇ ਕੂਲੌਂਬ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਅੰਦਰ ਕਲੇਇਨ-ਜੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੁਣ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ:

\left(E+{e^{2} \over r}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x).

ਉਸਨੇ ਇਸ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਖੋਜੀਆਂ, ਪਰ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਸੁਧਾਰ ਸੋਮਰਫੈਲਡ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਅਸਹਮਿਤ ਰਹੇ। ਮਾਯੂਸ ਹੋ ਕੇ, ਉਸਨੇ ਆਪਣੇ ਹਿਸਾਬ –ਕਤਾਬਾਂ ਨੂੰ ਪਰੇ ਰੱਖ ਦਿੱਤਾ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਦਸੰਬਰ 1925 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੰਦ ਪਹਾੜੀ ਕੈਬਿਨ ਵਿੱਚ ਤਨਹਾ ਕਰ ਲਿਆ।^[18] ਜਦੋਂਕਿ ਇਸ ਕੈਬਿਨ ਉੱਤੇ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੇ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਸਦੀਆਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੇਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ ਛਪਣ ਲਈ ਉੱਤਮ ਹੋਣ ਯੋਗ ਹਨ, ਅਤੇ ਭਵਿੱਖ ਲਈ ਸਾਪੇਖਿਕ ਸੁਧਾਰਾਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਵਾਸਤੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਆਉਂਦੀਆਂ ਕਠਿਨਾਈਆਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ (ਉਸਨੇ ਆਪਣੇ ਦੋਸਤ ਗਣਿਤਸ਼ਾਸਤਰੀ ਹਰਮਨ ਵੇਇਲ ਤੋਂ ਮਦਦ ਮੰਗੀ ਸੀ)^[19]^: 3) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਉਸਦੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਵਰਜ਼ਨ ਨੇ1926 ਵਿੱਚ ਛਪੇ ਇੱਕ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਦੀਆਂ ਸਹੀ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀਆਂ ਸਨ।^[19]^: 1^[20] ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਪ੍ਰੋਟੌਨ ਰਾਹੀਂ ਬਣਾਈ ਕਿਸੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਵੈੱਲ $V$ ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ $Ψ (x, t)$ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਦੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਨੂੰ ਟ੍ਰੀਟ ਕਰਕੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਇਆ ਸੀ। ਇਸ ਹਿਸਾਬ-ਕਤਾਬ ਨੇ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਬੌਹਰ ਮਾਡਲ ਦੇ ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇੱਕ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਖੁਦ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਾਇਆ ਸੀ:

ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਹੀ ... ਨਾਮ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਾਈ-ਫੰਕਸ਼ਨ .... ਹੁਣ ਨਾਪ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਅਨੁਮਾਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਭਵਿੱਖ ਦੀਆਂ ਉਮੀਦਾਂ ਤੇ ਸਿਧਾਂਤਕ ਤੌਰ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਪਰਭਰ ਲਈ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜੋੜ ਜੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
— ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ^[21]

ਇਸ 1926 ਦੇ ਪੇਪਰ ਨੂੰ ਉਤਸ਼ਾਹਪੂਰਵਜ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਰਾਹੀਂ ਸਮਰਥਨ ਮਿਲਿਆ, ਜਿਸਨੇ ਪਦਾਰਥਕ-ਤਰੰਗਾਂ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤ ਦੇ ਇੱਕ ਸਹਿਜ-ਸਮਝ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਿਆ, ਜੋ ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਉਲਟ ਸੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਉਸਨੇ ਜਰੂਰਤ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਰਸਮੀ ਮੰਨਿਆ।^[22]

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ $Ψ$ ਦੇ ਸੁਭਾਅ ਦਾ ਵੇਰਵਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਪਰ ਇਸਦੀ ਫਿਤਰਤ ਬਾਰੇ ਕੁੱਝ ਨਹੀਂ ਦੱਸਦੀ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਆਪਣੇ ਚੌਥੇ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚਾਰਜ ਡੈਂਸਟੀ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕੀਤੀ, ਪਰ ਅਸਫਲ ਰਿਹਾ।^[23]^: 219

1926 ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੇ ਚੌਥੇ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪੇਪਰ ਦੇ ਛਪਣ ਤੋਂ ਸਿਰਫ ਕੁੱਝ ਦਿਨਾਂ ਬਾਦ ਹੀ, ਮੇਕਸ ਬੌਰਨ ਨੇ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ $Ψ$ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ, ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਸਕੁਏਅਰ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡੈਂਸਟੀ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।^[23]^: 220 ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ, ਭਾਵੇਂ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ- ਜਿਆਦਾਤਰ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਵਾਂਗਰ- ਕਿਸੇ ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਜਾਂ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਸਟਿਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਦਾ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਅਨਿਰੰਤਰਾਵਾਂ ਸਮੇਤ ਵਿਰੋਧ ਕਰਦਾ ਰਿਹਾ ਸੀ, ਜਿਸਦਾ (ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦਾ) ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਸੀ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਕਿਸੇ ਪਿੱਛੇ ਛੁਪੀ ਡਿਟ੍ਰਮਿਨਿਸਟਿਕ ਥਿਊਰੀ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਸੰਖੇਪਤਾ ਹੈ- ਅਤੇ ਕਦੇ ਵੀ ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਨਾਲ ਮੇਲ ਮਿਲਾਪ ਨਾ ਕੀਤਾ।^[24]

ਲੁਇਸ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਨੇ ਆਪਣੇ ਬਾਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੋ-ਬੋਹਮ ਥਿਊਰੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਸੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਰਾਹੀਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤਾ।

ਕਣਾਂ ਲਈ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ,^[25] ਜਿਸਦੇ ਹੱਲ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਤਰੰਗ-ਵਰਗੀਆਂ ਗਤੀਆਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰਲੀਆਂ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ) ਆਮਤੌਰ ਤੇਹੋਰ ਭੌਤਿਕੀ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ- ਸਟਰਿੰਗਾਂ ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਪਦਾਰਥ ਵਿੱਚ ਮਕੈਨੀਕਲ ਕੰਪਨਾਂ ਲਈ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਤਰੰਗਾਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ ਅਧਾਰ, ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵੇਰਵਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।^[26] ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਧਾਰਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ ਫੇਇਨਮਨ ਇਸ ਬਾਰੇ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ:

ਅਸੀਂ ਓਹ (ਸਮੀਕਰਨ) ਕਿੱਥੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ? ਕਿਤੋਂ ਵੀ ਨਹੀਂ। ਇਸਨੂੰ ਕਿਤੋਂ ਅਜਿਹੀ ਚੀਜ਼ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਚੀਜ਼ ਵੀ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋਵੋ। ਇਹ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੇ ਦਿਮਾਗ ਦੀ ਉਪਜ ਹੈ।
— ਰਿਚਰਡ ਫੇਇਨਮਨ^[27]

ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਬੁਨਿਆਦ ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋਣ ਪ੍ਰਤਿ ਰਚੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੈ। ਹੱਲ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $ψ$ ਹੈ, ਜੋ ਉਹ ਸਾਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵੀ ਸਿਸਟਮ ਬਾਬਤ ਜਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ। ਕੌਪਨਹਾਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅੰਦਰ, $ψ$ ਦਾ ਮੌਡੂਲਸ ਅਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ, ਵਕਤ ਦੇ ਕਿਸੇ ਪਲ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ (ਸਥਾਨਿਕ) ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ ਹੁੱਦੇ ਹਨ। $ψ$ ਲਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਅਤੇ ਖਾਸ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਅਧੀਨ ਕਣ ਕਿਵੇਂ ਵਰਤਾਓ ਕਰਨਗੇ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਤੋਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜੋ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੀ ਹੈ,^[28] ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਵਾਂਗ ਰਚੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।^[29] ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਠੋਸ ਵਿਵਰਣ ਲਈ Resnick et al.^[30] ਵੀ ਦੇਖੋ।

ਊਰਜਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲਤਾ

ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ $E$ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ $T$ ਅਤੇ ਸਥਿਤਿਕ ਊਰਜਾ $V$ ਦੇ ਜੋੜ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਜੋੜਫਲ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ $H$ ਲਈ ਅਕਸਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵੀ ਹੈ:

E=T+V=H\,\!

ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਪੁਜੀਸ਼ਨ $x$ , ਪੁੰਜ $m$ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ $p$ ਅਤੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ $V$ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਕਣ ਲਈ, ਜੋ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਟਾਈਮ $t$ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ:

E={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)=H.

ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਲਈ, ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ $r$ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵੈਕਟਰ $p$ ਜਰੂਰ ਹੀ ਵਰਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ:

E={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)=H

ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਕਣਾੰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਫਿਕਸ ਕੀਤੇ ਨੰਬਰ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ: ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਫੇਰ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁੱਲ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾਵਾਂ ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਫੇਰ ਤੋਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕਣਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ (ਇੱਕ $N$ -ਬੌਡੀ ਸਮੱਸਿਆ), ਤਾਂ ਜੋ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ $V$ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਬਣਤਰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਵੀ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ, ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਹਰੇਕ ਕਣ ਲਈ ਵੱਖਰੀਆਂ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਗੋਂ ਇਹ ਕਣਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ:

E=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)=H\,\!

ਰੇਖਿਕਤਾ (ਲੀਨੀਅਰਟੀ)

ਸਰਲਤਮ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

\Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!

ਜਿੱਥੇ;

$A$ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
$k$ ਵੇਵ-ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
$ω$ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਦੀ ਐਂਗੁਲਰ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਭੌਤਿਕੀ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਪਲੇਨ ਤਰੰਗਾਂ ਰਾਹੀਂ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ, ਇਸਲਈ ਸਰਵ ਸਧਾਰੀਕਰਨ ਲਈ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ; ਸਾਈਨੁਸੋਆਇਡਲ ਪਲੇਨ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਤਰੰਗ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਜੇਕਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲੀਨੀਅਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਪਲੇਨ ਤਰੰਗਾੰ ਦਾ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਮੇਲ ਵੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਲਾਜ਼ਮੀ ਅਤੇ ਵੱਖਰੀ ਲੋੜ ਇਹ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਰਹੇ।

ਅਨਿਰੰਤਰ $k$ ਲਈ, ਜੋੜ, ਪਲੇਨ ਤਰੰਗਾੰ ਦੀ ਇੱਕ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

\Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}e^{i(\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} -\omega _{n}t)}\,\!

ਕੁੱਝ ਵਾਸਤਵਿਕ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਗੁਣਾਂਕਾਂ $A n$ ਲਈ, ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ $k$ ਲਈ, ਜੋੜ ਇੱਕ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਪੇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਫੋਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫੌਰਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:^[31]

\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int \Phi (\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}d^{3}\mathbf {k} \,\!

ਜਿੱਥੇ $d 3 k = dk x dk y dk z$ $k$ -ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵੌਲੀਊਮ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਸਾਰੀ $k$ -ਸਪੇਸ ਤੇ ਕਬਜ਼ਾ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਮੋਮੈਂਟਮ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $Φ (k)$ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਪੇਸ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਫੋਰੀਅਰ ਟ੍ਰਾਂਸਫੌਰਮ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਡੀ-ਬ੍ਰਗੋਲਿ ਸਬੰਧਾਂ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲਤਾ

ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਚਿਤ੍ਰਾਤਮਿਕ ਸਾਰਾਂਸ਼, ਜਿਵੇਂ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਦੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਅਤੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।^[28]

ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਲਾਈਟ ਕੁਆਂਟਾ ਪਰਿਕਲਪਨਾ (1905) ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੋਟੌਨ ਦੀ ਊਰਜਾ $E$ ਸਬੰਧਤ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੇ ਕੁਆਂਟਮ ਵੇਵ-ਪੈਕਟ ਦੀ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ $ν$ (ਜਾਂ ਐਂਗੁਲਰ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ, $ω = 2 π ν$ ) ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

E=h\nu =\hbar \omega \,\!

ਇਸੇਤਰਾਂ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਦੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ (1924) ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਕਣ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ (ਸਬੱਧਤ ਕੀਤਾ) ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਣ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ $p$ ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੀ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਦੀ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ $λ$ ਦੇ ਇਸ ਰਾਹੀਂ ਉਲਟ-ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਜਾਂ ਵੇਵ-ਨੰਬਰ, $k = 2π / λ$ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ):

p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k\;,

ਜਦੋਂਕਿ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ, ਵੇਵਲੈਂਥ $λ$ ਵੇਵ-ਵੈਕਟਰ $k$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,\quad |\mathbf {k} |={\frac {2\pi }{\lambda }}\,.

ਪਲੈਂਕ-ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਅਤੇ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਸਬੰਧ ਊਰਜਾ ਦੇ ਸਮੇਂ ਨਾਲ, ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨਾਲ, ਦਰਮਿਆਨ ਗਹਿਰੇ ਸੰਪਰਕਾਂ ਤੇ ਰੋਸ਼ਨੀ ਪਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਵੇਵ-ਪਾਰਟੀਕਲ ਡਿਊਲਿਟੀ ਸਮੀਕਰਨਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, $ħ = 1$ ਵਾਲੀਆਂ ਕੁਦਰਤੀ ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀਆਂ ਤੱਕ ਘਟ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ: ਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ, ਵੇਵ-ਸੰਖਿਆ, ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਵਟਾ ਕੇ ਵਰਤ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ ਦੀ ਨਕਲ (ਡੁਪਲੀਕੇਸ਼ਨ) ਰੋਕੀ ਜਾ ਸਕੇ, ਅਤੇ ਸਬੰਧਤ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ ਦੇ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਘਟ ਸਕੇ। ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਲਈ ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਅਜੇ ਵੀ SI ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੀ ਗਹਿਰੀ ਸਮਝ,^{[ਹਵਾਲਾ ਲੋੜੀਂਦਾ]} ਨੇ 1925 ਦੇ ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਫੇਜ਼ ਫੈਕਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲੋਸੇ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਦੇ ਫੇਜ਼ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਬੱਧ ਕਰਨਾ ਸੀ:

\Psi =Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }

ਅਤੇ ਇਹ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਨਾ ਸੀ। ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡੈਰੀਵਿਟਵ ਇਹ ਸਨ: ਸਪੇਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ:

\nabla \Psi ={\dfrac {i}{\hbar }}\mathbf {p} Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }={\dfrac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \Psi

ਸਮੇਂ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ:

{\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\dfrac {iE}{\hbar }}Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }=-{\dfrac {iE}{\hbar }}\Psi

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਿਧਾਂਤ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਲੈਂਦੇ ਹਨ। ਪਿਛਲੇ ਡੈਰੀਵਿਟਵ, ਸਮਾਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹੋਏ ਊਰਜਾ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ,

{\hat {E}}\Psi =i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi

ਜਿੱਥੇ $E$ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ (ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ $\nabla$ ) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ $p$ ਮੋਮੈਂਟਮ ਆਈਗਨਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

{\hat {\mathbf {p} }}\Psi =-i\hbar \nabla \Psi =\mathbf {p} \Psi

ਜਿੱਥੇ $p$ , ਮੋਮੈਂਟਮ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਵਿੱਚ, "ਹੈਟ" ( $ˆ$ ) ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਸਰਲ ਤੌਰ ਤੇ ਸਧਾਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂਕਿ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ $V$ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਗੁਣਾਤਮਿਕ ਹਿੱਸਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਭਰਦੇ ਹੋਏ ਇਹ ਓਪਰੇਟਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

E={\dfrac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V\quad \rightarrow \quad {\hat {E}}={\dfrac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V

ਇਸਲਈ ਟਾਈਮ ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $Ψ$ ਉੱਤੇ ਇਸ ਓਪਰੇਟਰ ਦੀ ਕ੍ਰਿਆ ਨੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਹੀ ਉਸਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਦਿੱਤੀ:^{[ਹਵਾਲਾ ਲੋੜੀਂਦਾ]}

i\hbar {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi

ਤਰੰਗ-ਕਣ ਦੋਹਰੇਪਣ ਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਇਕੱਠਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ $T$ ਮੋਮੈਂਟਮ $p$ ਦੇ ਵਰਗ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਕਣ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਓਵੇਂ ਹੀ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਹੋਰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਵੇਵ-ਨੰਬਰ $| k |$ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਨਾਲ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ $λ$ ਘਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਸਕੇਲਰ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ (ਓਪਰੇਟਰ ਨਹੀਂ) ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ:

\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} \propto \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \propto T\propto {\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}

ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਦੂਜੀ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਇਹਨਾਂ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਤਰੰਗ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੇ ਵੀ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

{\hat {T}}\Psi ={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \nabla \Psi \,\propto \,\nabla ^{2}\Psi \,.

ਜਿਵੇਂ ਜਿਵੇਂ ਕਰਵੇਚਰ ਵਧਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਰੰਗ ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਅਤੇ ਨੈਗਟਿਵ ਦਰਮਿਆਨ ਹੋਰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਵੀ ਘਟਾਉਂਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਤਰੰਗ-ਲੰਬਾਈ ਦਰਮਿਆਨ ਉਲਟ ਸਬੰਧ, ਕਣ ਦੁਆਰਾ ਰੱਖੀ ਜਾਂਦੀ ਊਰਜਾ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਕਣ ਦੀ ਊਰਜਾ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ, ਨਾਲ ਉਸੇ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾ ਸੰਪਰਕ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।^[28]

ਤਰੰਗ ਅਤੇ ਕਣ ਗਤੀ

ਵੇਵਪੈਕਟ ਲੋਕਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੇ ਵਧ ਰਹੇ ਲੈਵਲ, ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਕਣ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਥਾਨਬੱਧ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।

ਹੱਦ ħ → 0 ਵਿੱਚ, ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਗਿਆਤ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕਲਾਸੀਕਲ ਕਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਨੇ ਮੰਗ ਕੀਤੀ ਕਿ ਪੁਜੀਸ਼ਨ $r$ ਦੇ ਨੇੜੇ, $k$ ਨਜ਼ਦੀਕ ਵੇਵ-ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਵੇਵ-ਪੈਕਟ ਹੱਲ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਰਾਹੀਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਵਕਰਿਤ ਰਸਤੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਨਗੇ ਜੋ $k$ ਵਿੱਚ ਵਿਸਥਾਰ ਲਈ ਘੱਟ ਸਮੇਂ ਵਾਸਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਵਿੱਚ) ਜੋ $r$ ਵਿੱਚ ਫੈਲੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨੂੰ ਕਾਫੀ ਹੱਦ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਲਈ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕਿਉਂਕਿ, $k$ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਵਿਸਥਾਰ ਲਈ, ਵਿਲੌਸਟੀ ਵਿੱਚ ਵਿਸਥਾਰ ਪਲੈਂਕ ਦੇ ਸਥਿਰਾਂਕ $ħ$ ਪ੍ਰਤਿ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾੰ ਇਹ ਕਦੇ ਕਦੇ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $ħ$ ਦੇ ਸਿਫਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੱਕ ਦੀ ਹੱਦ ਵਿੱਚ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਸਟੋਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।^[32] ਇਹ ਹੱਦ ਕਿਵੇਂ ਅਤੇ ਕਿਹੜੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਬਹੁਤ ਸਾਵਧਾਨੀ ਮੰਗਦੀ ਹੈ।

ਸੀਮਤ ਛੋਟੀ ਤਰੰਗਲੰਬਾਈ ਸਿਫਰ ਹੋ ਰਹੇ $ħ$ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕਣ ਦੀ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਵੇਵ-ਪੈਕਟ ਲੋਕਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਧਾਉਣ ਦਾ ਸੀਮਤ ਮਾਮਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਲਈ ਹੇਜ਼ਨਬ੍ਰਗ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵਿੱਚ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਓਂ ਹੀ $ħ \to 0$ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ:

\sigma (x)\sigma (p_{x})\geqslant {\frac {\hbar }{2}}\quad \rightarrow \quad \sigma (x)\sigma (p_{x})\geqslant 0\,\!

ਜਿੱਥੇ $σ$ , $x$ ਅਤੇ $p x$ (ਅਤੇ ਇਸੇਤਰਾਂ $y$ ਅਤੇ $z$ -ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਾਸਤੇ ਵੀ) ਵਿੱਚ (ਰੂਟ ਮੀਨ ਸਕੁਏਅਰ) ਨਾਪ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਭਾਵ ਹੈ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਇਸ ਹੱਦ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਕਿਸੇ ਮਨਚਾਹੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਤੱਕ ਹੀ ਗਿਆਤ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਜਨਰਲ ਕਿਸਮ,

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)\,\!

ਵਿੱਚ ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੇਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ (HJE) ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;

{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)\,\!

ਜਿੱਥੇ;

$S$ ਐਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
$H$ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਓਪਰੇਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ)।

ਇੱਥੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $q i$ , $i = 1, 2, 3$ ਲਈ (ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੈਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ) ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਵਿੱਚ $r = (q 1, q 2, q 3) = (x, y, z)$ ^[32] ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਸੈੱਟ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

\Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }\,\!

ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਭਰਦੇ ਹੋਏ,

ਜਿੱਥੇ $ρ$ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡੈਂਸਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ $ħ \to 0$ ਵਾਲੀ ਹੱਦ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੈਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।

ਨਤੀਜੇ ਇਹ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ:

ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ, ਜੋ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ (ਘੱਟ ਤਰੰਗ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ) ਵੇਵ ਪੈਕਟ ਹੱਲਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੋਵੇ, ਗਤੀ ਦੀ ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੈਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਵੀ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਸਦੇ ਵੇਵ ਪੈਕਟ ਹੱਲ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ (ਕੁਆਂਟਮ) ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਤਰੰਗ ਫ੍ਰੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਧੁੰਦਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਫੈਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਵਿਪਰੀਤ, ਹੈਮਿਲਟਨ-ਜੈਕਬੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ (ਕਲਾਸੀਕਲ) ਕਣ ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸਾਰੇ ਸਮਿਆਂ (ਵਕਰਿਤ ਰਸਤਿਆਂ) ਉੱਤੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨਿਰਧਾਰਤਮਿਕ ਹੋਣ ਅਤੇ ਇਕੱਠੇ ਗਿਆਤ ਹੋ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਹੋਣ।

ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਅਸਰਾਂ ਨੂੰ ਲਏ ਬਗੇਰ ਕਣਾਂ ਦਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਸਪੀਡਾਂ ਉੱਤੇ ਸੰਚਾਰਿਤ ਹੋ ਰਹੇ ਕਣਾਂ ਦਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ, ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵੱਖਰੀਆਂ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਲਈ ਇਸ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਅੱਗੇ ਲਿਖੀਆਂ ਹਨ: ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ, ਇੱਕ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਅਯਾਮ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਤੇ $N$ ਕਣ।

ਵਾਸਤਵਿਕ ਵਿੱਚ, ਸਿਸਟਮ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਕਣ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਅਕ ਨਾਮ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ। ਗਣਿਤ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਸਾਨੂੰ ਕਣਾਂ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੂਜੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਨਾਮਕਰਨ ਕਰਨ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਕਿਹੜੇ ਕਣ ਵਾਸਤੇ ਕਿਹੜੇ ਅਸਥਿਰਾਂਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਦਰਮਿਆਨ, ਗਲਤਵਹਿਮੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।^[30]

ਵਕਤ ਸੁਤੰਤਰ

ਜੇਕਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਵਕਤ ਦਾ ਕੋਈ ਸਪਸ਼ਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਅਤੇ ਟੈਂਪੋਰਲ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਿਖੇੜਨਯੋਗ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਹ ਰੂਪ ਲੈ ਲੈਂਦਾ ਹੈ:

\Psi ({\text{space coords}},t)=\psi ({\text{space coords}})\tau (t)\,.

ਜਿੱਥੇ $ψ (ਸਪੇਸ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ)$ ਸਿਰਫ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ $τ (t)$ ਸਿਰਫ ਵਕਤ ਦਾ ਹੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। $ψ$ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸਬੰਧਤ ਸੰਖਿਆ ਲਈ ਭਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੇ ਨਿਖੇੜ ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਇਹ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:^[15]

\Psi ({\text{space coords}},t)=\psi ({\text{space coords}})e^{-i{Et/\hbar }}\,.

ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਫੇਜ਼ ਫੈਕਟਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਸਿਰਫ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਹਿੱਸਿਆਂ ਨੂੰ ਹੀ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਊਰਜਾ ਓਪਰੇਟਰ $Ê = iħ \partial / \partial t$ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ $E$ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਲਈ ਇੱਕ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:^[5]^: 143ff

{\hat {H}}\psi =E\psi

ਇਹ ਕਿਸੇ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਅਯਾਮਾਂ (ਕਿਸੇ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਵਿੱਚ) ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਕਣਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਮਾਮਲਾ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ (ਵੱਖਰੀਆਂ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਵਿਸਥਾਰ-ਵੰਡ ਦੀ ਬਜਾਏ) ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਊਰਜਾ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਸਟੈਂਡਿੰਗ ਤਰੰਗਾਂ ਨੂੰ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਜਾਂ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਬ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਐਟੌਮਿਕ ਔਰਬਿਟਲ ਜਾਂ ਮੌਲੀਕਿਊਲਰ ਔਰਬਿਟਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਇਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਾਪੇਖਿਕ ਫੇਜ਼ਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ ਬਦਲ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਇਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਕੀਮਤਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸਪੈਕਟ੍ਰਮ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਊਰਜਾ ਜਰੂਰ ਹੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਹੋਰ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ, ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਰਚਦੀਆਂ ਹਨ- ਕੋਈ ਵੀ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਰੰਤਰ ਊਰਜਾ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉੱਪਰ ਕਿਸੇ ਜੋੜ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਊਰਜਾ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉੱਪਰ ਕਿਸੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਨਾਪ ਉੱਪਰ ਕਿਸੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਥਿਊਰਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ, ਇਹ ਸਿਰਫ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਸੰਪੂਰਣਤਾ ਦੀ ਇੱਕ ਸਟੇਟਮੈਂਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਉਦਾਹਰਨ

ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰਲੇ ਕਿਸੇ ਕਣ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x)\,,\quad {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}

ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਭਰਨ ਤੇ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)

ਇਹ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਮਾਮਲਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ਿਕ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੋਣ ਨਾਲੋਂ, ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਨਰਲ ਹੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

\Psi (x,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }\,.

ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰਲੇ $N$ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

{\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\,,\quad {\hat {p}}_{n}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

ਜਿੱਥੇ ਕਣ $n$ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ $x n$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਬੰਧਤ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N})+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N})=E\psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\,.

ਇਸਲਈ ਆਮ ਹੱਲ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

\Psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N})

ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਨਿਖੇੜਨਯੋਗ ਕਣਾਂ ਲਈ,^[33] ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਸਿਰਫ ਹਰੇਕ ਕਣ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕੁੱਲ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਹਰੇਕ ਕਣ ਲਈ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})=\sum _{n=1}^{N}V(x_{n})\,.

ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਕਣ ਲਈ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

\Psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)=e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (x_{n})\,,

ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਰਾ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ- ਇਹ ਕਣ ਵਟਾਂਦਰੇ ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੋਇਆ, ਵੱਖਰੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀਆਂ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਵਿੱਚ, ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਉਪਰੋਕਤ ਵਿਯੋਜਨ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।

ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ

ਜ਼ੀਰੋ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਲਈ, $V = 0$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕਣ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੰਝ ਪੜਦੀ ਹੈ:^[5]^: 151ff

-E\psi ={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{d^{2}\psi  \over dx^{2}}\,

ਜੋ $E > 0$ ( $C n$ ਮਨਚਾਹੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ) ਲਈ ਡੋਲਦੇ (ਔਸੀਲੇਟ ਕਰਦੇ) ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

\psi _{E}(x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,x}+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,x}\,

ਅਤੇ $E < 0$ ਲਈ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਹੱਲ,

\psi _{-|E|}(x)=C_{1}e^{{\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,x}+C_{2}e^{-{\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,x}.\,

ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਤੌਰ ਤੇ ਵਧ ਰਹੇ ਹੱਲ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਨੌਰਮ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਭੌਤਿਕੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਇਹ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਜਾਂ ਫਿਕਸ ਕੀਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਘਣਫਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।

ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਉੱਤੇ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਚਰਚਾ ਲਈ ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਅਤੇ ਵੇਵਪੈਕਟ ਦੇਖੋ।

ਸਥਿਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ

ਕਿਸੇ ਬੈਰੀਅਰ ਉੱਤੇ ਸੁੱਟੀ ਕਿਸੇ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਤਰੰਗ ਦੀ ਐਨੀਮੇਸ਼ਨ

ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਲਈ,

$V = V 0$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
$E > V 0$ ਲਈ, ਹੱਲ, ਔਸੀਲੇਟਰੀ ਹੁੱਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ
$E < V 0$ ਲਈ ਐਕਪੋਨੇਂਸ਼ੀਅਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ,

ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਊਰਜਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਜਾਂ ਅਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਔਸੀਲੇਟਰੀ ਹੱਲ ਇੱਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਗਤੀਆੰ ਨਾਲ ਸਬੱਧ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂਕਿ, ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਹੱਲ ਇੱਕ ਅਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਟਨਲਿੰਗ ਸਦਕਾ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਅਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਂਟਮ ਬਲੀਡਿੰਗ ਦੀ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ $V 0$ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗਤੀ ਕਲਾਸੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੋ ਜਾੰਦੀ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਤੋਂ ਦੇਖਣ ਤੇ, ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਕਿਸੇ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਤੱਕ ਘਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਹਾਲਤ ਕਿ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਘਟਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਊਰਜਾ ਲੈਵਲਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸੈੱਟ ਤੱਕ ਰੋਕ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਊਰਜਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।^[31]

ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ

ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ (A-B) ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ (C-H) ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ, ਇੱਕ ਗੇਂਦ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੈ, ਪਿੱਛੇ ਅਤੇ ਅੱਗੇ ਡੋਲਦੀ ਹੈ। (C–H) ਇਸ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਲਈ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਛੇ ਹੱਲ ਹਨ। ਹੌਰੀਜ਼ੌਂਟਲ ਧੁਰਾ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੈ, ਵਰਟੀਕਲ ਧੁਰਾ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹਿੱਸਾ (ਨੀਲਾ) ਜਾਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਹਿੱਸਾ (ਲਾਲ) ਹੈ। ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ, ਜਾਂ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ, ਜੋ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਲ ਹਨ, C, D, E, F ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਪਰ G ਜਾਂ H ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ।

ਇਸ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀ ਲਈ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;

E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi

ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਧਿਆਨਯੋਗ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਕਿਉਂਕਿ ਹੱਲ ਸਹੀ (ਪਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ- ਹਰਮਾਈਟ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਕੰਪਨ ਕਰ ਰਹੇ ਐਟਮਾਂ, ਅਣੂਆਂ ਸਮੇਤ, ਹੋਰ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਵੈਰਾਇਟੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਖੇਪ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ^[34] ਅਤੇ ਲੈਟਿਸਾਂ ਵਿੱਚ ਐਟਮਾਂ ਜਾਂ ਆਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ,^[35] ਅਤੇ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਜ਼ਦੀਕ ਹੋਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦਾ ਅਧਾਰ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਫੈਮਲੀ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ- ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਹੱਲ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ;

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)

ਜਿੱਥੇ

$n = 0,1,2,...$ ਹੈ, ਅਤੇ
ਫੰਕਸ਼ਨ $H n$ ਹਰਮਾਈਟ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਉਦਾਹਰਨਾਂ

ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਤੋਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਾਰੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਬਦਲ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਰਾਹੀਂ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

{\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} )\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla

ਜੋ ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )

ਜੋ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }

ਜਿੱਥੇ ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ $r$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਲਾਭਕਾਰੀ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਇਹ ਹਨ;

ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ $r = (x, y, z)$ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
ਸਫੈਰੀਕਲ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ $r = (r, θ, φ)$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਬੇਸ਼ੱਕ, ਹੋਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕੁੱਝ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਲਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਕਾਰੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ, $N$ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

{\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}_{n}=-i\hbar \nabla _{n}

ਜਿੱਥੇ;

ਕਣ $n$ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ $r n$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ
ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਕਣ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਪ੍ਰਤਿ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵਿਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਅੰਦਰ, ਕਣ $n$ ਲਈ, ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ $r n = (x n, y n, z n)$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂਕਿ, ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਅਤੇ ਲੈਪਲਾਸੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਇਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

\nabla _{n}=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\,,\quad \nabla _{n}^{2}=\nabla _{n}\cdot \nabla _{n}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z_{n}}^{2}}}

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})=E\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})

ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਅਵਸਥਾ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N})

ਫੇਰ ਤੋਂ, ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਨਿਖੇੜਨਯੋਗ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਕਣ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})=\sum _{n=1}^{N}V(\mathbf {r} _{n})

ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)=e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (\mathbf {r} _{n})\,.

ਗੈਰ-ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਮਿਉਟੇਸ਼ਨਾਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੀਆਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੇ ਕਣਾਂ ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਅੱਗੇ, ਉਹ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਸਹੀ ਹੱਲ ਗਿਆਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਵਿਵਰਣਾਂ ਲਈ ਮੁੱਖ ਲੇਖਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।

ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਇਸ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:^[26]^[28]

E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi

ਜਿੱਥੇ;

$e$ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਚਾਰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,
$r$ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ( $r = | r |$ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ),
ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਰਕਮ ਕੂਲੌਂਬ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਕਾਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਕਿ
$ε 0$ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸਥਿਰਾਂਕ (ਸੁਤੰਤਰ ਸਪੇਸ ਦੀ ਪਰਮਿਟੀਵਿਟੀ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ
$\mu ={\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}$ , ਪੁੰਜ $m p$ ਵਾਲੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਨਿਊਕਲੀਅਸ (ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਟੌਨ) ਅਤੇ $m e$ ਪੁੰਜ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦਾ 2-ਬਾਡੀ ਘਟਿਆ ਹੋਇਆ ਪੁੰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨੈਗਟਿਵ ਚਿੰਨ੍ਹ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਰਕਮ ਵਿੱਚ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪ੍ਰੋਟੌਨ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਉਲਟ ਚਾਰਜ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਪੁੰਜ ਦੀ ਜਗਹ ਘਟਿਆ ਹੋਇਆ ਪੁੰਜ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੇ ਕਿਉਂਕਿ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਟੌਨ ਇਕੱਠਿਆਂ, ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਪੁੰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੁਆਲ਼ੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੂ-ਬਾਡੀ ਸਮੱਸਿਆ ਰਚਦੇ ਹਨ। ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਗਤੀ ਇੱਥੇ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਮੁੱਖ ਕੇਂਦਰ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਸਮਾਨ ਇੱਕ-ਬਾਡੀ ਸਮੱਸਿਆ ਘਟੇ ਹੋਏ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਵਰਤ ਕੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਗਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਲਈ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਲੱਗ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।^[36] ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਫੈਰੀਕਲ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )

ਜਿੱਥੇ;

$R$ ਰੇਡੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ
$Y m ℓ (θ, φ)$ ਡਿਗਰੀ $ℓ$ ਅਤੇ ਔਰਡਰ $m$ ਵਾਲੇ ਸਫੈਰੀਕਲ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਇਹ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਐਟਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਹੀ ਤੌਰ ਤੇ ਹੱਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਮਲਟੀ-ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਐਟਮ ਸੰਖੇਪਤਾ ਵਿਧੀਆਂ ਮੰਗਦੇ ਹਨ। ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਫੈਮਲੀ ਇਹ ਹੈ:^[37]

\psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

ਜਿੱਥੇ:

$a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}$ ਬੋਹਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ ਹੈ,
$L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )$ ਡਿਗਰੀ $n - ℓ - 1$ ਦੇ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
$n, ℓ, m$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਮੁੱਖ, ਐਜ਼ੀਮਿਊਥਲ, ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਜੋ ਇਹ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦੇ ਹਨ:

{\begin{aligned}n&=1,2,3,\dots \\\ell &=0,1,2,\dots ,n-1\\m&=-\ell ,\dots ,\ell \\\end{aligned}}

NB: ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵੱਖਰੇ ਵਿਦਵਾਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ- ਇਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਮੁੱਖ ਲੇਖ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਹਾਈਡੌਜਨ ਐਟਮ ਦੇਖੋ।

ਦੋ-ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਐਟਮ ਜਾਂ ਆਇਨ

ਕਿਸੇ ਦੋ-ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਸਿਸਟਮ ਲਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, ਜਿਵੇਂ ਨਿਊਟ੍ਰਲ ਹੀਲੀਅਮ ਐਟਮ (He, $Z = 2$ ), ਨੈਗਟਿਵ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਆਇਨ (H⁻, $Z = 1$ ), ਜਾਂ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਲੀਥੀਅਮ ਅਇਨ (Li⁺, $Z = 3$ ) ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:^[29]

E\psi =-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{2\mu }}\left(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{M}}\nabla _{1}\cdot \nabla _{2}\right]\psi +{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{r_{12}}}-Z\left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right]\psi

ਜਿੱਥੇ;

$r 1$ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ( $r 1 = | r 1 |$ ਇਸਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਹੁੱਦਾ ਹੇ),
$r 2$ ਦੂਜੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ( $r 2 = | r 2 |$ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ),
$r 12 = | r 12 |$ ਇਹਨਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਦੂਰੀ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ;

|\mathbf {r} _{12}|=|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|\,\!

$μ$ , ਫੇਰ ਤੋਂ, ਪੁੰਜ $M$ ਵਾਲੇ ਨਿਊਕਲੀਅਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦਾ ਟੂ-ਬਾਡੀ ਘਟਿਆ ਹੋਇਆ ਪੁੰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਟਾਈਮ

\mu ={\frac {m_{e}M}{m_{e}+M}}\,\!

ਅਤੇ

$Z$ , ਤੱਤ ਲਈ ਐਟੌਮਿਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਕੁਆਂਟਮ ਨੰਬਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ)।

ਦੋਵੇਂ ਲੈਪਲਾਸੀਅਨਾਂ ਦੀ ਕ੍ਰੌਸ-ਰਕਮ;

{\frac {1}{M}}\nabla _{1}\cdot \nabla _{2}\,\!

ਨੂੰ ਪੁੰਜ ਪੋਲਰਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਰਕਮ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਐਟੌਮਿਕ ਨਿਊਕਲੀਆਈ ਦੀ ਗਤੀ ਕਰਕੇ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਦੋਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

\psi =\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}).

ਇਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ ਕੋਈ ਬੰਦ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

ਵਕਤ ਨਿਰਭਰ

ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਗਤੀ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੱਦੀ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:^[5]^: 143ff

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi .

ਅਤੇ ਹੱਲ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਸਿਸਟਮ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦੇ ਸਾਰੇ ਕਣ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਮਾਮਲੇ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਗਏ ਹਨ।

ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ;

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x,t)\,,\quad {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x,t)\Psi (x,t)

ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਅੰਦਰਲੇ $N$ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

{\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)\,,\quad {\hat {p}}_{n}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

ਜਿੱਥੇ ਕਣ $n$ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ $x n$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰ ਰਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\Psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)+V(x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)\Psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)\,.

ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰਲੇ ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

{\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla

ਜੋ ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)

ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰਲੇ $N$ ਕਣਾਂ ਲਈ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

{\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}_{n}=-i\hbar \nabla _{n}

ਜਿੱਥੇ ਕਣ $n$ ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ $r n$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ:^[5]^: 141

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)

ਇਹ ਆਖਰੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਉੱਚੇ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਸਦੇ ਹੱਲ ਦੇਖਣੇ ਅਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਹੱਲ ਵਿਧੀਆਂ

ਆਮ ਤਕਨੀਕਾਂ:

ਖਾਸ ਮਾਮਿਲਆਂ ਵਾਸਤੇ ਵਿਧੀਆਂ:

ਐਨਾਲਿਟੀਕਲ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਕੁਆਂਟਮ-ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ
ਹਾਰਟੀ-ਫੋਕ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਪੋਸਟ ਹਾਰਟੀ-ਫੋਕ ਵਿਧੀਆਂ

ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅੱਗੇ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਰੱਖਦੀ ਹੈ: ਕੁੱਝ ਲਾਭਕਾਰੀ ਹਨ, ਪਰ ਕਮੀਆਂ ਬਚਦੀਆਂ ਹਨ। ਅੰਤ ਨੂੰ, ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਲਾਂ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਰੇਖਿਕਤਾ

ਓਪਰੋਕਤ ਵਿਕਾਸ ਅੰਦਰ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨਤਾ ਲਈ ਰੇਖਿਕ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸੀ, ਭਾਵੇਂ ਇਸਦੇ ਹੋਰ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪੈਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $ψ 1$ ਅਤੇ $ψ 2$ ਹੱਲ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਫੇਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਵੀ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

\displaystyle \psi =a\psi _{1}+b\psi _{2}

ਜਿੱਥੇ $a$ ਅਤੇ $b$ ਕੋਈ ਵੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ (ਜੋੜਫਲ ਨੂੰ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ)। ਇਹ ਖਾਸੀਅਤ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ) ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਹੋਰ ਵੀ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਸਿੰਗਲ ਅਵਸਥਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਯੋਗ ਹੱਲਾਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਲੈਣ ਸਦਕਾ ਖੋਜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $Ψ (x, t)$ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਰਹੇ: ਇੱਕ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਫੰਕਸ਼ਨ। ਜੇਕਰ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਰਤ ਕੇ ਖੋਜੀਆਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਊਰਜਾ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ $A n$ ਵਾਲੇ $ψ E (x)$ ਨਾਲ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹੋਣ, ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਨਿਰਭਰ ਫੇਜ਼ ਫੈਕਟਰ ਇਸ ਤਰਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੋਵੇ,

e^{{-iE_{n}t}/\hbar },

ਤਾਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਹੱਲ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

\displaystyle \Psi (x,t)=\sum \limits _{n}A_{n}\psi _{E_{n}}(x)e^{{-iE_{n}t}/\hbar }.

ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨਾਪਣ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਕਿਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕੀਤੇ ਬਗੈਰ ਹੀ ਉਸਦੇ ਲਈ ਹੱਲ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ $ψ n$ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੇਰ;

\displaystyle \Psi =\sum \limits _{n}A_{n}\psi _{n}

ਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਕੇ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

\displaystyle \sum \limits _{n}|A_{n}|^{2}=1

ਇਹ ਇਸਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਕਿਤੇ ਜਿਆਦਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ;

\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|\Psi (x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\Psi (x)\Psi ^{*}(x)\,dx=1.

ਵਾਸਤਵਿਕ ਉਰਜਾ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ

ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ, ਰੇਖਿਕਤਾ ਦਾ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਲੱਛਣ ਇੰਝ ਹੈ: ਜੇਕਰ ਦੋ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $ψ 1$ ਅਤੇ $ψ 2$ , ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਓਸੇ ਊਰਜਾ $E$ ਸਮੇਤ ਹੱਲ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਵੀ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

{\hat {H}}(a\psi _{1}+b\psi _{2})=a{\hat {H}}\psi _{1}+b{\hat {H}}\psi _{2}=E(a\psi _{1}+b\psi _{2}).

ਇੱਕੋ ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਡੀਜਨਰੇਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।^[31]

ਕਿਸੇ ਮਨਚਾਹੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਅੰਦਰ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $ψ$ ਸਮਾਂ-ਸੁਤੰਤਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ, ਜੋ $ψ *$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਲੈ ਕੇ, $ψ$ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਹਿੱਸੇ, ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵੀ ਡੀਜਨਰੇਸੀ ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਹ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਫੈਕਟਰ ਰਾਹੀਂ ਹੀ ਅੰਤਰ ਰੱਖਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅੰਦਰ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਤਰੰਗਾਂ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ $Ψ (x, t)$ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ $Ψ *(x, - t)$ ਵੀ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨੂੰ ਟਾਈਮ-ਰਿਵਰਸਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ

ਕਿਸੇ ਵਕਤ

t

ਉੱਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨਿਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ (

x

ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ,

y

ਅਤੇ

z

ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ

ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੂਜੇ ਅਤੇ ਵਕਤ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਔਰਡਰ ਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਉਤਪਤੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਹ ਵਰਤਮਾਨ ਤੋਂ ਭਵਿੱਖ ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ)।

3-ਅਯਾਮੀ ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਅੰਦਰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਕਣ ਲਈ- ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;

i\hbar {\partial \Psi  \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\partial ^{2}\Psi  \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Psi  \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\Psi  \over \partial z^{2}}\right)+V(x,y,z,t)\Psi .\,\!

ਪਹਿਲੇ ਟਾਈਮ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ( $t = 0$ ਉੱਤੇ) ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ

\Psi (x,y,z,0)\,\!

ਕੋਈ ਮਨਚਾਹਾ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇਤਰਾਂ- ਸਪੇਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਔਰਡਰ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਵਾਂ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਔਰਡਰ ਦੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ

{\begin{aligned}&\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\\&{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\quad {\frac {\partial }{\partial y}}\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\quad {\frac {\partial }{\partial z}}\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\end{aligned}}\,\!

ਸਾਰੇ ਹੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸੈੱਟ ਉੱਤੇ ਮਨਚਾਹੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ $x b$ , $y b$ , $z b$ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸੀਮਾ $b$ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੱਦਾਂ ਉੱਤੇ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ)। ਖਾਸਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋ ਹੱਦਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਸਟੈੱਪ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਬੌਕਸ ਵਿੱਚ ਕਣ।

ਜਿਵੇਂ ਪਹਿਲੇ ਔਰਡਰ ਵਾਲ਼ੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਮਨਚਾਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਸੇਤਰਾਂ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਮੈਚ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਵਕਤ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਔਰਡਰ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਕਲੇਇਨ-ਜੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੋਟ ਕਰਨ ਯੋਗ ਹਨ।

ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਦੀ ਸਥਾਨਿਕ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਕੰਜ਼੍ਰਵੇਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਕਰਨ ਤੇ, ਅਤੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਕਰਨ ਤੇ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਘਟਾਓ ਕਰਨ ਤੇ, ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ:^[38]

{\partial  \over \partial t}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,

ਜਿੱਥੇ;

\rho =|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,\!

ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਘਣਤਾ (ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਪ੍ਰਤਿ ਯੂਨਿਟ ਵੌਲੀਊਮ,, $*$ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ

\mathbf {j} ={1 \over 2m}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)\,\!

ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਕਰੰਟ (ਜੋ ਪ੍ਰਤਿ ਯੂਨਿਟ ਖੇਤਰਫਲ ਵਹਿੰਦਾ ਹੈ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਅਨੁਮਾਨ, ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਦੀ ਉਲੰਘਣਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ।

ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਐਨਰਜੀ

ਜੇਕਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਬੰਨਿਆ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਦੀ ਕੋਈ ਨਿਊਨਤਮ ਕੀਮਤ ਹੁੰਦੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਆਈਗਨ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਜਿਹੀ ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਥੱਲੇ ਤੋਂ ਬੰਨੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਵੇਰੀਏਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। (ਥੱਲੇ ਵੀ ਦੇਖੋ) ਥੱਲੇ ਤੋਂ ਬੰਨੇ ਹੋਏ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੀਨੀਅਰ ਓਪਰੇਟਰ $Â$ ਲਈ, ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ, ਵੈਕਟਰ $ψ$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਸਾਰੇ $ψ$ ਉੱਤੇ ਮਿਨੀਮਾਈਜ਼ (ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ) ਕਰਦਾ ਹੈ:

\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle

ਜੋ ਮਾਨਕੀਕ੍ਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।^[38] ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਨਿਊਨਤਮ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਵੇਰੀਏਸ਼ਨਲ ਸਿਧਾਂਤ ਰਾਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਥੱਲੇ ਤੋਂ ਬਾਊਂਡ ਕੀਤੇ (ਬੰਨੇ ਹੋਏ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ $Ĥ$ ਲਈ, ਨਿਊਨਤਮ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਅਵਸਥਾ ਊਰਜਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਓਹ ਊਰਜਾ;

\langle \psi |{\hat {H}}|\psi \rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} )\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )\right]d^{3}\mathbf {r} =\int \left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|\nabla \psi |^{2}+V(\mathbf {r} )|\psi |^{2}\right]d^{3}\mathbf {r} =\langle {\hat {H}}\rangle

ਦਾ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਹਿੱਸਿਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ)। $ψ 2$ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੌਡੂਲਸ (ਜੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਸਦਕਾ, ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ $V (x)$ ਦੇ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ ਵਿੱਚ, ਗਰਾਉਂਡ ਸਟੇਟ ਐਨਰਜੀ ਓਦੋਂ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ $V (x)$ ਸਭ ਜਗਹ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਹੋਵੇ।

ਜਿਹੜੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਥੱਲੇ ਤੋਂ ਬੰਨੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਖੇਤਰ ਉੱਪਰ ਅਨੰਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਉਹਨਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਅਧਾਰ ਅਵਸਥਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਮਿਨੀਮਾਈਜ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਊਨਤਮ ਊਰਜਾ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ- ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਅਤੇ ਘਟ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਰੀਆਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਨੈਗਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ: ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਤਬਦੀਲੀ ਵੇਲੇ ਮੋੜਾਂ ਨੂੰ (ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਮਿਨੀਮਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਲਈ) ਸੁਚਾਰੂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਪ੍ਰਤਿ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਯੋਗਦਾਨ ਘਟ ਜਾਂਦਾ ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਨ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਐਨਰਜੀ ਵੀ ਘਟ ਜਾਂਦੀ, ਜਦੋਂਕਿ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ। ਗਤਿਜ ਅਤੇ ਸਥਿਤਿਕ ਊਰਜਾ ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਵੱਖਰੀਆਂ ਦਰਾਂ ਨਾਲ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੀਆਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਸਥਿਰ ਨਾ ਰਹਿੰਦੀ, ਜੋ ਵਾਪਰ ਨਹੀਂ ਸਕਦਾ (ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ)। ਹੱਲ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨਾਲ ਤਾਂ ਅਨੁਕੂਲ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਇਹ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਰਹਿੰਦਾ ਹੋਵੇ।

ਚਿੰਨ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦੀ ਕਮੀ ਇਹ ਵੀ ਸਾਬਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਧਾਰ ਅਵਸਥਾ ਗੈਰ-ਡਿਜਨ੍ਰੇਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਜੇਕਰ ਸਾਂਝੀ ਊਰਜਾ $E$ ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਅਧਾਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ, ਜੋ ਇੱਕ-ਦੂਜੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਨਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ ਵੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੇ ਜੋ ਕਿਸੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਅਵਸਥਾ ਵੀ ਹੁੰਦਾ।

ਡਿੱਫਿਊਜ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਿਕ ਨਿਰੰਤਰਤਾ

ਓਪਰੋਕਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ (ਊਰਜਾ ਦੀ ਪੌਜ਼ਟਿਵ ਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ) ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਕੋਈ ਸਟੌਕਾਸਟਿਕ ਪ੍ਰੋਸੈੱਸ ਹੋਣ ਦੀ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਿਕ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਨੂੰ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਿ ਤਰੰਗਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਹੂਈਜੀਨਸ-ਫ੍ਰੇਸਨਲ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ; ਫੈਲ ਰਹੇ ਵੇਵਫਰੰਟ, ਘੁਲਮਿਲ ਰਹੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।^[38]

ਕੋਈ ਮਨਚਾਹੀ ਸੈਰ ਕਰ ਰਹੇ ਕਿਸੇ ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ (ਜੋ ਕਿਸੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਨਹੀਂ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ) ਲਈ, ਸਮਾਂ-ਨਿਰਭਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ $τ = it$ ਭਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:^[39]

{\partial  \over \partial \tau }X(\mathbf {r} ,\tau )={\frac {\hbar }{2m}}\nabla ^{2}X(\mathbf {r} ,\tau )\,,\quad X(\mathbf {r} ,\tau )=\Psi (\mathbf {r} ,\tau /i)

ਜੋ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਕਿਸਮ ਵਰਗੀ ਕਿਸਮ ਦਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਗੁਣਾਂਕ $ħ / 2 m$ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਓਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਘੁਲਮਿਲਤਾ (ਡਿਫਿਊਜ਼ੀਵਿਟੀ), ਮਾਰਕੋਵ ਪ੍ਰੋਸੈੱਸ ਮੁਤਾਬਿਕ ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਸਬੰਧ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।^[40]

ਨਿਯਮਿਤਿਤਾ

ਸਕੁਏਅਰ-ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਡੈਂਸਟੀਆਂ ਦੀ ਸਪੇਸ $L^{2}$ ਉੱਤੇ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਅਰਧ-ਸਮੂਹ (ਸੇਮੀ-ਗਰੁੱਪ) $e^{it{\hat {H}}}$ , ਇੱਕ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਊਤਪਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਲਈ ਇਹ ਵਿਸ਼ਾਤਮਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਵਾਹ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ $i\partial _{t}u={\widehat {H}}u$ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਰ-ਵੰਡ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਢੁਕਵੇਂ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨਾਂ (ਜਿਵੇਂ, ਕਿਸੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਰਾਹੀਂ ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ ਲੈਪਲੈਸ ਓਪਰੇਟਰ) ਲਈ ${\widehat {H}}$ , $L^{2}$ , ਅੰਦਰ ਬੰਨਿਆ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਰਧ-ਸਮੂਹ ਪ੍ਰਵਾਹ ਆਮਤੌਰ ਵਿੱਚ ਸੋਬੋਲਲੇਵ ਨਿਯਮਿਤਿਤਾ ਦੀ ਕਮੀ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦੀ ਜਗਹ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਹੱਲ ਕਿਸੇ ਸਟ੍ਰਿਚਾਰਟਜ਼ ਅਨੁਮਾਨ ਤੇ ਖਰੇ ਉਤਰਦੇ ਹਨ।

ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ

ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਉੱਥੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਇਕੱਠੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹੋਣ। ਆਮਤੌਰ ਵਿੱਚ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਊਰਜਾ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਊਰਜਾ-ਮੋਮੈਂਟਮ ਸਬੰਧ ਤੋਂ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵੇਵ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਬਣਾਉਣੀਆਂ ਪਸੰਦ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,,

ਕਲੇਇਨ-ਜੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ। ਕਲੇਇਨ-ਗੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ,

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.

,

ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਅਜਿਹੀ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਸੀ।, ਜੋ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਨੌਨ-ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵੀ ਪਹਿਲਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਈ ਗਈ ਸੀ, ਅਤੇ ਇਹ ਪੁੰਜ-ਯੁਕਤ ਸਪਿੱਨ-ਹੀਣ ਕਣਾਂ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਵੇਵ ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ ਫੈਕਟ੍ਰਾਇਜ਼ ਕਰਨ ਨਾਲ ਕਲੇਇਨ-ਗੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ- ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਓਪਰੇਟਰ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਿਸਮ ਸੱਚ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਸਪਸ਼ੱਟਤਾ ਘਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਪੁੰਜ $m$ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਚਾਰਜ $q$ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਕਣ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ (ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨਟਿਜ਼ਮ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ $φ$ ਅਤੇ $A$ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ) ਅੰਦਰ, ਡੀਰਾਕ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

{\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\phi \right]\,,

ਜਿਸ ਵਿੱਚ, $γ = (γ 1, γ 2, γ 3)$ ਅਤੇ $γ 0$ , ਕਣ ਦੇ ਸਪਿੱਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਡੀਰਾਕ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸਾਰੇ ਸਪਿੱਨ- ¹⁄₂ ਕਣਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਲ, 4-ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਦੋ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਦੇ ਦੋ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਐਂਟੀ-ਪਾਰਟੀਕਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਕਲੇਇਨ-ਗੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਲਈ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੀ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਿਸਮ ਵਰਤਣੀ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਡੀਰਾਕ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਪ੍ਰਤਿ ਕਿਸੇ ਤੁੱਲ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਬੱਧ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ। ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਸੇ ਲਗ੍ਰਾਂਜੀਅਨ ਘਣਤਾ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫੀਲਡਾਂ ਲਈ ਇਲੁਰ-ਲਗ੍ਰਾਂਜ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਜਾਂ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਥਿਊਰੀ ਵਰਤ ਕੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੁੱਝ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਪਿੱਨ (ਅਤੇ ਪੁੰਜ) ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਲਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਆਮਤੌਰ ਵਿੱਚ, ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਭਰਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਸਿਰਫ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਓਪਰੇਟਰਾਂ (ਅਤੇ ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮੇਂ) ਦਾ ਹੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਸਗੋੰ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਵੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, $s$ ਸਪਿੱਨ ਵਾਲੇ, ਕਿਸੇ ਪੁੰਜ-ਯੁਕਤ ਕਣ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਲ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ $2(2 s + 1)$ -ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ

ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ (ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ) ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਵੀ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਪੇਖਿਕ (ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਅਤੇ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਗੈਰ-ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਦੋਵੇਂ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਲਈ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਹੱਲ $ψ$ ਕਿਸੇ ਤਰੰਗ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ, ਸਗੋਂ ਕਿਸੇ ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਮੌਜੂਦ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਓਪਰੇਟਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਅਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।^{[ਹਵਾਲਾ ਲੋੜੀਂਦਾ]}

ਪਹਿਲੀ ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਕਿਸਮ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਓਸੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ^[41]^[42]^[43] ਦੀ ਕਿਸਮ ਤੋਂ ਵੀ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਲੇਇਨ-ਜੌਰਡਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 1 D ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;

{\begin{aligned}-i\partial _{z}\psi =(i\eta \partial _{t}+\eta ^{\dagger }m)\psi \end{aligned}}

ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨ ਨਾਲ 1 D ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $\eta$ ਅੱਗੇ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਨ;

{\begin{aligned}\eta ^{2}=0\\(\eta ^{\dagger })^{2}=0\\\left\lbrace \eta ,\eta ^{\dagger }\right\rbrace =2I\end{aligned}}

ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ 3-ਅਯਾਮੀ ਵਰਜ਼ਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

{\begin{aligned}-i\gamma _{i}\partial _{i}\psi =(i\eta \partial _{t}+\eta ^{\dagger }m)\psi \end{aligned}}

ਇੱਥੇ

$\eta =(\gamma _{0}+i\gamma _{5})/{\sqrt {2}}$ ਇੱਕ $4\times 4$ ਨਿਲਪੋਟੈਂਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
$\gamma _{i}$ ਡੀਰਾਕ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ( $i=1,2,3$ ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

3 D ਅੰਦਰ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਕੁਏਅਰ (ਵਰਗ) ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ (ਨੌਨ-ਰੀਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ) ਹੱਦ $E-m\simeq E'$ ਅਤੇ $E+m\simeq 2m$ ਵਿੱਚ, ਓਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੱਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।^[42]

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

ਨੋਟਸ

↑ "Physicist Erwin Schrödinger's Google doodle marks quantum mechanics work". The Guardian. 13 ਅਗਸਤ 2013. Retrieved 25 ਅਗਸਤ 2013.
↑ ^2.0 ^2.1 Schrödinger, E. (1926). "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules" (PDF). Physical Review. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. Archived from the original (PDF) on 17 ਦਸੰਬਰ 2008.
↑ Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-111892-7
↑ Laloe, Franck (2012), Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02501-1
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Kluwer Academic/Plenum Publishers. ISBN 978-0-306-44790-7.
↑ "Schrodinger equation". hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
↑ Sakurai, J. J. (1995). Modern Quantum Mechanics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. p. 68.
↑ Nouredine Zettili (17 ਫ਼ਰਵਰੀ 2009). Quantum Mechanics: Concepts and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-02678-6.
↑ Ballentine, Leslie (1998), Quantum Mechanics: A Modern Development, World Scientific Publishing Co., ISBN 9810241054
↑ David Deutsch, The Beginning of infinity, page 310
↑ de Broglie, L. (1925). "Recherches sur la théorie des quanta" (PDF). Annales de Physique. 10 (3): 22–128. Archived from the original (PDF) on 9 ਮਈ 2009. Retrieved 5 ਅਕਤੂਬਰ 2017. {{cite journal}}: Unknown parameter |dead-url= ignored (|url-status= suggested) (help); Unknown parameter |trans_title= ignored (|trans-title= suggested) (help).
↑ Weissman, M.B.; V. V. Iliev; I. Gutman (2008). "A pioneer remembered: biographical notes about Arthur Constant Lunn". Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. 59 (3): 687–708.
↑ Kamen, Martin D. (1985). Radiant Science, Dark Politics. Berkeley and Los Angeles, CA: University of California Press. pp. 29–32. ISBN 0-520-04929-2.
↑ Schrodinger, E. (1984). Collected papers. Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 3-7001-0573-8. See introduction to first 1926 paper.
↑ ^15.0 ^15.1 Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) ISBN 0-89573-752-3
↑ Sommerfeld, A. (1919). Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 3-87144-484-7.
↑ For an English source, see Haar, T. (1967). "The Old Quantum Theory". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
↑ Rhodes, R. (1986). Making of the Atomic Bomb. Touchstone. ISBN 0-671-44133-7.
↑ ^19.0 ^19.1 Erwin Schrödinger (1982). Collected Papers on Wave Mechanics: Third Edition. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3524-1.
↑ Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem; von Erwin Schrödinger". Annalen der Physik. 384: 361–377. Bibcode:1926AnP...384..361S. doi:10.1002/andp.19263840404.
↑ Erwin Schrödinger, "The Present situation in Quantum Mechanics," p. 9 of 22. The English version was translated by John D. Trimmer. The translation first appeared first in Proceedings of the American Philosophical Society, 124, 323–38. It later appeared as Section I.11 of Part I of Quantum Theory and Measurement by J.A. Wheeler and W.H. Zurek, eds., Princeton University Press, New Jersey 1983.
↑ Einstein, A.; et al. "Letters on Wave Mechanics: Schrodinger–Planck–Einstein–Lorentz". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help); Explicit use of et al. in: |author2= (help)
↑ ^23.0 ^23.1 ^23.2 Moore, W.J. (1992). Schrödinger: Life and Thought. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43767-9.
↑ It is clear that even in his last year of life, as shown in a letter to Max Born, that Schrödinger never accepted the Copenhagen interpretation.^[23]^: 220
↑ Takahisa Okino (2013). "Correlation between Diffusion Equation and Schrödinger Equation". Journal of Modern Physics (4): 612–615.
↑ ^26.0 ^26.1 Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
↑ ਦੀ ਨਿਊ ਕੁਆਂਟਮ ਯੂਨੀਵਰਸ, T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1
↑ ^28.0 ^28.1 ^28.2 ^28.3 Quanta: A handbook of concepts, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1
↑ ^29.0 ^29.1 Physics of Atoms and Molecules, B.H. Bransden, C.J.Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2
↑ ^30.0 ^30.1 Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
↑ ^31.0 ^31.1 ^31.2 Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9
↑ ^32.0 ^32.1 Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
↑ N. Zettili. Quantum Mechanics: Concepts and Applications (2nd ed.). p. 458. ISBN 978-0-470-02679-3.
↑ Physical chemistry, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7
↑ Solid State Physics (2nd Edition), J.R. Hook, H.E. Hall, Manchester Physics Series, John Wiley & Sons, 2010, ISBN 978-0-471-92804-1
↑ Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
↑ David Griffiths (2008). Introduction to elementary particles. Wiley-VCH. pp. 162–. ISBN 978-3-527-40601-2. Retrieved 27 ਜੂਨ 2011.
↑ ^38.0 ^38.1 ^38.2 Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
↑ http://www.stt.msu.edu/~mcubed/Relativistic.pdf
↑ Takahisa Okino (2015). "Mathematical Physics in Diffusion Problems". Journal of Modern Physics (6): 2109–2144.
↑ Ajaib, Muhammad Adeel (2015). "A Fundamental Form of the Schrödinger Equation". Found.Phys. 45 (2015) no.12, 1586-1598. Bibcode:2015FoPh...45.1586A. doi:10.1007/s10701-015-9944-z.
↑ ^42.0 ^42.1 Ajaib, Muhammad Adeel (2016). "Non-Relativistic Limit of the Dirac Equation". International Journal of Quantum Foundations.
↑ Lévy-Leblond, J-.M. (1967). "Nonrelativistic particles and wave equations". Comm. Math. Pays. 6 (4): 286–311.

ਹਵਾਲੇ

P. A. M. Dirac (1958). The Principles of Quantum Mechanics (4th ed.). Oxford University Press.
B.H. Bransden; C.J. Joachain (2000). Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall PTR. ISBN 0-582-35691-1. {{cite book}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
David J. Griffiths (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Benjamin Cummings. ISBN 0-13-124405-1.
Richard Liboff (2002). Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
David Halliday (2007). Fundamentals of Physics (8th ed.). Wiley. ISBN 0-471-15950-6.
Serway, Moses, and Moyer (2004). Modern Physics (3rd ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-49340-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Schrödinger, Erwin (ਦਸੰਬਰ 1926). "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules". Phys. Rev. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049.
Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5.

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Schrödinger equation", ਗਣਿਤ ਦਾ ਵਿਸ਼ਵਕੋਸ਼, ਸਪਰਿੰਗਰ, ISBN 978-1-55608-010-4
Quantum Physics Archived 7 March 2012^{[Date mismatch]} at the Wayback Machine. – textbook by Benjamin Crowell with a treatment of the time-independent Schrödinger equation
Linear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Nonlinear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
The Schrödinger Equation in One Dimension Archived 24 May 2006^{[Date mismatch]} at the Wayback Machine. as well as the directory of the book Archived 24 May 2006^{[Date mismatch]} at the Wayback Machine..
All about 3D Schrödinger Equation
Mathematical aspects of Schrödinger equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki Archived 23 July 2017^{[Date mismatch]} at the Wayback Machine..
Web-Schrödinger: Interactive solution of the 2D time-dependent and stationary Schrödinger equation
An alternate reasoning behind the Schrödinger Equation
Online software-Periodic Potential Lab Solves the time-independent Schrödinger equation for arbitrary periodic potentials.
What Do You Do With a Wavefunction?
The Young Double-Slit Experiment

[1] "Physicist Erwin Schrödinger's Google doodle marks quantum mechanics work". The Guardian. 13 ਅਗਸਤ 2013. Retrieved 25 ਅਗਸਤ 2013.

[sch-2] 2.0 ^2.1 Schrödinger, E. (1926). "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules" (PDF). Physical Review. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. Archived from the original (PDF) on 17 ਦਸੰਬਰ 2008.

[Griffiths2004-3] Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-111892-7

[Laloe-4] Laloe, Franck (2012), Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02501-1

[Shankar1994-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Kluwer Academic/Plenum Publishers. ISBN 978-0-306-44790-7.

[6] "Schrodinger equation". hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

[7] Sakurai, J. J. (1995). Modern Quantum Mechanics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. p. 68.

[Zettili2009-8] Nouredine Zettili (17 ਫ਼ਰਵਰੀ 2009). Quantum Mechanics: Concepts and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-02678-6.

[Ballentine-9] Ballentine, Leslie (1998), Quantum Mechanics: A Modern Development, World Scientific Publishing Co., ISBN 9810241054

[10] David Deutsch, The Beginning of infinity, page 310

[11] Broglie, L. (1925). "Recherches sur la théorie des quanta" (PDF). Annales de Physique. 10 (3): 22–128. Archived from the original (PDF) on 9 ਮਈ 2009. Retrieved 5 ਅਕਤੂਬਰ 2017. {{cite journal}}: Unknown parameter |dead-url= ignored (|url-status= suggested) (help); Unknown parameter |trans_title= ignored (|trans-title= suggested) (help).

[12] Weissman, M.B.; V. V. Iliev; I. Gutman (2008). "A pioneer remembered: biographical notes about Arthur Constant Lunn". Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. 59 (3): 687–708.

[13] Kamen, Martin D. (1985). Radiant Science, Dark Politics. Berkeley and Los Angeles, CA: University of California Press. pp. 29–32. ISBN 0-520-04929-2.

[14] Schrodinger, E. (1984). Collected papers. Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 3-7001-0573-8. See introduction to first 1926 paper.

[verlagsgesellschaft1991-15] 15.0 ^15.1 Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) ISBN 0-89573-752-3

[16] Sommerfeld, A. (1919). Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn. ISBN 3-87144-484-7.

[17] For an English source, see Haar, T. (1967). "The Old Quantum Theory". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[18] Rhodes, R. (1986). Making of the Atomic Bomb. Touchstone. ISBN 0-671-44133-7.

[Schrödinger1982-19] 19.0 ^19.1 Erwin Schrödinger (1982). Collected Papers on Wave Mechanics: Third Edition. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3524-1.

[20] Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem; von Erwin Schrödinger". Annalen der Physik. 384: 361–377. Bibcode:1926AnP...384..361S. doi:10.1002/andp.19263840404.

[21] Erwin Schrödinger, "The Present situation in Quantum Mechanics," p. 9 of 22. The English version was translated by John D. Trimmer. The translation first appeared first in Proceedings of the American Philosophical Society, 124, 323–38. It later appeared as Section I.11 of Part I of Quantum Theory and Measurement by J.A. Wheeler and W.H. Zurek, eds., Princeton University Press, New Jersey 1983.

[22] Einstein, A.; et al. "Letters on Wave Mechanics: Schrodinger–Planck–Einstein–Lorentz". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help); Explicit use of et al. in: |author2= (help)

[Moore1992-23] 23.0 ^23.1 ^23.2 Moore, W.J. (1992). Schrödinger: Life and Thought. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43767-9.

[24] It is clear that even in his last year of life, as shown in a letter to Max Born, that Schrödinger never accepted the Copenhagen interpretation.^[23]^: 220

[25] Takahisa Okino (2013). "Correlation between Diffusion Equation and Schrödinger Equation". Journal of Modern Physics (4): 612–615.

[Quantum_Chemistry_1977-26] 26.0 ^26.1 Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0

[27] ਦੀ ਨਿਊ ਕੁਆਂਟਮ ਯੂਨੀਵਰਸ, T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1

[Quanta_1974-28] 28.0 ^28.1 ^28.2 ^28.3 Quanta: A handbook of concepts, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1

[Molecules,_B.H._Bransden_1983-29] 29.0 ^29.1 Physics of Atoms and Molecules, B.H. Bransden, C.J.Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2

[Atoms,_Molecules_1985-30] 30.0 ^30.1 Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

[Quantum_Mechanics_Demystified_2006-31] 31.0 ^31.1 ^31.2 Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9

[Analytical_Mechanics_2008-32] 32.0 ^32.1 Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[33] N. Zettili. Quantum Mechanics: Concepts and Applications (2nd ed.). p. 458. ISBN 978-0-470-02679-3.

[34] Physical chemistry, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7

[35] Solid State Physics (2nd Edition), J.R. Hook, H.E. Hall, Manchester Physics Series, John Wiley & Sons, 2010, ISBN 978-0-471-92804-1

[36] Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7

[37] David Griffiths (2008). Introduction to elementary particles. Wiley-VCH. pp. 162–. ISBN 978-3-527-40601-2. Retrieved 27 ਜੂਨ 2011.

[Quantum_Mechanics_2004-38] 38.0 ^38.1 ^38.2 Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0

[39] ttp://www.stt.msu.edu/~mcubed/Relativistic.pdf

[40] Takahisa Okino (2015). "Mathematical Physics in Diffusion Problems". Journal of Modern Physics (6): 2109–2144.

[one-41] Ajaib, Muhammad Adeel (2015). "A Fundamental Form of the Schrödinger Equation". Found.Phys. 45 (2015) no.12, 1586-1598. Bibcode:2015FoPh...45.1586A. doi:10.1007/s10701-015-9944-z.

[two-42] 42.0 ^42.1 Ajaib, Muhammad Adeel (2016). "Non-Relativistic Limit of the Dirac Equation". International Journal of Quantum Foundations.

[three-43] Lévy-Leblond, J-.M. (1967). "Nonrelativistic particles and wave equations". Comm. Math. Pays. 6 (4): 286–311.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]